Матричная алгебра тесно связана с линейными функциями и с линейными ограничениями, в связи с чем нашла себе применение в различных экономических задачах:
- в эконометрике, для оценки параметров множественных линейных регрессий;
- при решении задач линейного программирования;
- при макроэкономическом программировании и т.д.
Особое отношение к матричной алгебре в экономике появилось после создания моделей типа «Затраты-Выпуск» (Модель Леонтьева), где с помощью матриц технологических коэффициентов объясняется уровень производства в каждой отрасли через связь с соответствующими уровнями во всех прочих отраслях.
Матрицы. Действия с матрицами
Определение. Матрицей размера m х n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов:
Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, например А, В, С,…, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: aij, i–номер строки, j–номер столбца. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Матрица, у которой m=n, т. е. число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Например, квадратная матрица третьего порядка:
Элементы матрицы aij, у которых номер строки (i=j) равен номеру столбца, называются диагональными и образуют главную диагональ. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы a11, a22,….ann. Если все не диагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной. Например, диагональная матрица третьего порядка:
Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной, обозначается буквой Е. Например, единичная матрица третьего порядка:
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектор)–строкой, а из одного столбца матрицей (вектор)–столбцом:
Операции над матрицами. Над матрицами как и над числами, можно производить ряд операций, причём некоторые из них аналогичны операциям над числами, а некоторые специфические.
Кроме того, возможно выполнение операций поэлементного сложения (вычитания) двух матриц и умножения (деления) матрицы на число.
Сложение матриц
Суммой двух матриц А и В одинакового размера m*n называется матрица С, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В, i=1,…,m; j=1,…,n. Матрицы складываются поэлементно. Например:
В частности А+О=А
Вычитание матриц. Разность двух матриц, одинакового размера определяется через предыдущие операции: А-В=А+(-1)В.
Сложение матриц в MS Excel
Электронная таблица EXCEL имеет ряд встроенных функций для работы с матрицами:
ТРАНСП – транспонирование исходной матрицы;
МОПРЕД – вычисление определителя квадратной матрицы;
МОБР – вычисление матрицы обратной к данной;
МУМНОЖ – нахождение матрицы, являющейся произведением двух матриц.
На примере проиллюстрируем некоторые из вышеописанных функций. Найдем сумму двух матриц размерностью: А(5*4) и В(5*4)
Для сложения двух матриц одинаковой размерности следует выполнить следующую последовательность действий:
- Задать две исходные матрицы.
- Отметить место для матрицы-результата.
- В выделенном месте под результат поставить знак равенства и записать сумму так, как показано на рис.
Завершить выполнение работы одновременным нажатием клавиш Shift/Ctrl/Enter