Моделирование

Оглавление

Матричная алгебра тесно связана с линейными функциями и с линейными ограничениями, в связи с чем нашла себе применение в различных экономических задачах:

в эконометрике, для оценки параметров множественных линейных регрессий;
при решении задач линейного программирования;
при макроэкономическом программировании и т.д.

Особое отношение к матричной алгебре в экономике появилось после создания моделей типа «Затраты-Выпуск» (Модель Леонтьева), где с помощью матриц технологических коэффициентов объясняется уровень производства в каждой отрасли через связь с соответствующими уровнями во всех прочих отраслях.

Матрицы. Действия с матрицами

Определение. Матрицей размера m х n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов:

Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, например А, В, С,…, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: a_ij, i–номер строки, j–номер столбца. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Матрица, у которой m=n, т. е. число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Например, квадратная матрица третьего порядка:

Элементы матрицы a_ij, у которых номер строки (i=j) равен номеру столбца, называются диагональными и образуют главную диагональ. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы a₁₁, a₂₂,….a_nn. Если все не диагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной. Например, диагональная матрица третьего порядка:

Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной, обозначается буквой Е. Например, единичная матрица третьего порядка:

$[E = left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\ 0&1&0\ 0&0&1 end{array}} right|]$

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектор)–строкой, а из одного столбца матрицей (вектор)–столбцом:

Операции над матрицами. Над матрицами как и над числами, можно производить ряд операций, причём некоторые из них аналогичны операциям над числами, а некоторые специфические.

Кроме того, возможно выполнение операций поэлементного сложения (вычитания) двух матриц и умножения (деления) матрицы на число.

Сложение матриц

Суммой двух матриц А и В одинакового размера m*n называется матрица С, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В, i=1,…,m; j=1,…,n. Матрицы складываются поэлементно. Например:

$[begin{array}{l} mathop Climits_{m cdot n} = mathop Alimits_{m cdot n} + mathop Blimits_{m cdot n} \ mathop Alimits_{2 cdot 3} = left( {begin{array}{*{20}{c}} 2&3\ 1&5 end{array}} right);;;mathop Blimits_{2 cdot 3} = left( {begin{array}{*{20}{c}} 1&4\ 2&5 end{array}} right);;;mathop Climits_{2 cdot 3} = A + B = left( {begin{array}{*{20}{c}} 3&7\ 3&{10} end{array}} right) end{array}]$

В частности А+О=А

Вычитание матриц. Разность двух матриц, одинакового размера определяется через предыдущие операции: А-В=А+(-1)В.

Сложение матриц в MS Excel

Электронная таблица EXCEL имеет ряд встроенных функций для работы с матрицами:

ТРАНСП – транспонирование исходной матрицы;

МОПРЕД – вычисление определителя квадратной матрицы;

МОБР – вычисление матрицы обратной к данной;

МУМНОЖ – нахождение матрицы, являющейся произведением двух матриц.

На примере проиллюстрируем некоторые из вышеописанных функций. Найдем сумму двух матриц размерностью: А(5*4) и В(5*4)

Для сложения двух матриц одинаковой размерности следует выполнить следующую последовательность действий:

Задать две исходные матрицы.
Отметить место для матрицы-результата.
В выделенном месте под результат поставить знак равенства и записать сумму так, как показано на рис.