Найти наилучшие значения этих постоянных методом наименьших квадратов, а также методом наименьших квадратов найдите полиномиальную зависимость, сравните результаты.

Условие задачи:
В таблице приведены средние значения роста лиц мужского пола в возрасте от 4 до 17 лет.
Возраст, лет (t) Рост, см (у) Возраст, лет (t) Рост, см (y)
4 103,9 11 142,8
5 111,5 12 147,9
6 117,5 13 153,7
7 122,4 14 160,0
8 128,0 15 166,0
9 133,1 16 170,9
10 137,9 17 173,2

Для аппроксимации этих данных Берталанфи предложил формулу
,
где a, b и к — постоянные величины, которые требуется определить. Найти наилучшие значения этих постоянных методом наименьших квадратов, а также методом наименьших квадратов найдите полиномиальную зависимость, сравните результаты.

Решение:
Для решения задачи был использован алгоритм нахождения эмпирических формул, содержащих три параметра для показательной зависимости, описанный в учебном пособии «Численные методы анализа. Приближение функций. Дифференциальные и интегральные уравнения.» под редакцией Б.П. Демидовича, И.А. Марона, Э.З. Шуваловой (стр. 109).
В эмпирической формуле Берталанфи раскроем скобки:

Перенесем свободный член в левую часть:

Умножим обе части на (-1):

Определим параметр а. Для этого выберем крайние точки и и составим среднее арифметическое
Значения x1 и xn берем из табличных данных

определим графически. Для этого построим график заданной табличной функции:

По графику видим, что значение равно 140.
Из следующих рассуждений найдем значение параметра а. Подставим х1, хn, xs в эмпирическую формулу:
(1) (2) (3)
Перемножим правые части первых двух соотношений:
(4)
Теперь возведем в квадрат правую часть третьего соотношения:
(5)
Правые части соотношений (4) и (5) оказались равны, следовательно, произведение правых частей соотношений (1) и (2) равно квадрату правой части соотношения (3). Поэтому, то же самое можно записать и для левых частей данных соотношений, т.е.:
(6)
Решив уравнение (6) относительно a, получим:

Читайте также:  Определите средний рост цен на данную группу товаров.

Подставим в данную формулу все необходимые значения y и найдем а:

Далее применим метод наименьших квадратов для экспоненциальной функции. Воспользуемся теоретическими сведениями из учебного пособия А.А. Амосова, Ю.А. Дубинского, Н.В, Копченовой «Вычислительные методы для инженеров» (стр. 356), а также примерами интернет ресурса «Приближение табличных функций по методу наименьших квадратов» (автор не указан, стр. 6).
В нашем случае функция имеет вид:

Учитывая найденное значение параметра а, получаем:

Линеаризуем нашу функцию (т.е. приведем ее к линейному виду). Для этого прологарифмируем данное равенство:

Значение рассчитывалось в MSExcel по формуле: =LN(553,2828)
Перенесем свободный член в левую часть, получим:

Запишем новую функцию:
, где
-1270494665Применим метод наименьших квадратов для новой линейной функции Y. Следующая информация взята из учебного пособия Исакова В.Н. «Элементы численных методов» (стр. 98). Метод наименьших квадратов заключается в поиске аналитически заданной функции, близкой к данной табличной.
В случае линейной функции коэффициенты a0 и а1 находятся из системы:

В нашем случае хi=ti, a0=lnb, a1=-k, . Заполним вспомогательную таблицу:
N x=t
y
Y=ln(553,28-y)-6,3 x2 xY
1 4 103,9 -0,192131145 16 -0,769
2 5 111,5 -0,209187979 25 -1,046
3 6 117,5 -0,222862471 36 -1,337
4 7 122,4 -0,234170371 49 -1,639
5 8 128 -0,247252224 64 -1,978
6 9 133,1 -0,259316809 81 -2,334
7 10 137,9 -0,270806236 100 -2,708
8 11 142,8 -0,282672793 121 -3,109
9 12 147,9 -0,295175101 144 -3,542
10 13 153,7 -0,309586005 169 -4,025
11 14 160 -0,325478174 196 -4,557
12 15 166 -0,340852054 225 -5,113
13 16 170,9 -0,353585121 256 -5,657
14 17 173,2 -0,359618243 289 -6,114
сумма 147 1968,8 -3,902694728 1771 -43,93
С помощью метода обратной матрицы решим систему уравнений:

Читайте также:  Вычислить пределы limx→3x2-9x2+4x-21

Все вычисления произведем в MSExcel. Даны матрица и вектор . Необходимо найти решение уравнения: Ах=В. Решение системы определяется по формуле х=А-1*В.
Определяем А-1, используя функцию МОБР(массив элементов матрицы А). Для этого выделяем пустой диапазон ячеек размерм 2Х2, вводим формулу МОБР и нажимаем одновременно клавиши Ctrl+shift+Enter.

Используя функцию МУМНОЖ(массив_элементов_обратной_матрицы; массив_элементов_В), после одновременного нажатия клавиш Ctrl+shift+Enter, получаем искомый вектор х. Для этого сначала выделяем пустой диапазон ячеек 2Х1 и вводим формулу МУМНОЖ.

Итак, .
Таким образом, найденная линеаризованная эмпирическая функция имеет вид:

Определение параметров экспоненциальной эмпирической зависимости производится из ранее принятых соотношений:

Искомая экспоненциальная эмпирическая функция будет иметь вид:

Теперь найдем приближение исходной функции в виде линейной с помощью метода наименьших квадратов. Заполним таблицу:
  x
y
x2 xy
1 4 103,9 16 415,6
2 5 111,5 25 557,5
3 6 117,5 36 705
4 7 122,4 49 856,8
5 8 128 64 1024
6 9 133,1 81 1197,9
7 10 137,9 100 1379
8 11 142,8 121 1570,8
9 12 147,9 144 1774,8
10 13 153,7 169 1998,1
11 14 160 196 2240
12 15 166 225 2490
13 16 170,9 256 2734,4
14 17 173,2 289 2944,4
сумма 147 1968,8 1771 21888,3
Решим систему методом обратной матрицы:

Получаем линейную функцию:
Построим графики экспоненциальной эмпирической функции, линейной эмпирической и исходной табличной.

Сравним квадраты отклонений, полученные для экспоненциальной приближенной и для линейной приближенной функции, заполнив таблицу:

Вывод: Исследуя графики и сравнивая квадраты отклонений для двух функций можно сделать вывод, что экспоненциальная формула Берталанфи дает очень слабое приближение в отличие от линейного.

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...