Найти потенциал ux,y электростатического поля внутри прямоугольной трубы (0<x<5, 0<y<4), в которой одна стенка x=5 находится под потенциалом V0=9, а все остальные заземлены.

Найти потенциал ux,y электростатического поля внутри прямоугольной трубы (0<x<5, 0<y<4), в которой одна стенка x=5 находится под потенциалом V0=9, а все остальные заземлены.
Решение: Потенциал ux,y удовлетворяет уравнению Лапласа
Δu≡uxx»+uyy»=0; 0<x<5, 0<y<4,
(1)
и граничным условиям
ux=0=0, ux=5=V0=9,
(2)
uy=0=0, uy=4=0.
(3)
Применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде
ux,y=XxYy.
Подставим в исходное уравнение (1)
X»xYy+XxY»y=0.
Разделим равенство на Xx⋅Yy
-X»xXx=Y»yYy=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от x, а правая – только от y.
В результате получим два дифференциальных уравнения
X»x-λXx=0,
Y»y+λYy=0.
Подставляя ux,y в виде XxYy в граничные условия (3), получим
XxY0=0, XxY4=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
Y0=0, Y4=0.
Таким образом, для функции Y(y) получили задачу Штурма-Лиувилля
Y»(y)+λYy=0Y0=0, Y4=0
Собственные значения задачи равны (см. задачу №1)
λk=πk42, k=1,2,3,…
Им соответствуют собственные функции
Yky=sinπky4, k=1,2,3,…
Уравнение для функции Xx примет вид
X»x-πk42Xx=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Xkx=Ake-πkx4+Bkeπkx4.
Решение ux,y исходной задачи записывается в виде ряда
ux,y=k=1∞XkxYk(y)=k=1∞Ake-πkx4+Bkeπkx4sinπky4.
Коэффициенты Ak, Bk этого ряда найдем из граничных условий (2’’)
ux=0=k=1∞Ak+Bksinπky4=0 ⇒ Ak+Bk=0 (k=1,2,3,…),
ux=5=k=1∞Ake- 5πk4+Bke5πk4sinπky4=V0=9.
Коэффициенты Ake- 5πk4+Bke5πk4 представляют собой коэффициенты разложения 9 в ряд Фурье по собственным функциям sinπky4k=1∞
Ake- 5πk4+Bke5πk4=24049sinπky4dy=92⋅4πk-cosπky404=
=-18πkcosπk-1=18πk1—1k
Получили систему
Ak+Bk=0, Ake- 5πk4+Bke5πk4=18πk1—1k
Ak=-91—1kπk sh5πk4, Bk=91—1kπk sh5πk4.
Таким образом, искомая функция имеет вид
ux,y=k=1∞-18πk sh5πk4e-πkx4+18πk sh5πk4eπkx4sinπky4=
=k=1∞91—1kπk sh5πk4-e-πkx4+eπkx4sinπky4=
=k=1∞181—1kπk sh5πk4shπkx4sinπky4
Учитывая, что
1—1k=0, если k=2n-четное, 2, если k=2n+1-нечетное,
перепишем решение в виде
u(x,y)=n=0∞36 sh2n+1πx4π(2n+1) sh52n+1π4sin(2n+1)πy4.
Ответ: Потенциал электростатического поля равен
ux,y=36πn=0∞sh2n+1πx4(2n+1) sh52n+1π4sin(2n+1)πy4.

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...