Найти все корни 4-й степени из числа z=-2-2i3

Найти все корни 4-й степени из числа z=-2-2i3

Приведем к тригонометрическому виду

r=x2+y2=(-2)2+(-23)2=4+12=4.
Аргумент, так как x=-3<0, вычисляется по формуле:
φ=arctg yx-π=arctg-23-2-π=arctg3-π=π3-π=-2π3.
Тригонометрический вид числа примет вид
z=4(cos-2π3+isin-2π3).

Извлекаем корни 4-й степени из z по формуле
zk=4z=4r(cosφ+2πk4+isinφ+2πk4), k=0,1,2,3
k=0, z0=44(cos-2π3+2π04+isin-2π3+2π04)=2 (cos-π6+isin-π6).
k=1, z1=44(cos-2π3+2π4+isin-2π3+2π4)=2 (cosπ3+isinπ3).
k=2, z2=44(cos-2π3+4π4+isin-2π3+4π4)=2 (cos5π6+isin5π6).
k=3, z3=44(cos-2π3+6π4+isin-2π3+6π4)=2 (cos4π3+isin4π3).
№4 Доказать, что для любого натурального n число 10n-4n+3n
делится на 9.
Для n=1: 10-4+3=9 – делиться на 9;
для n=2: 102-42+6=90 – делиться на 9.
Тогда допустим, что 10n-4n+3n делится на 9, рассмотрим при n+1
10n+1-4n+1+3n+1=10∙10n-4∙4n+3n+3=4∙10n+
+6∙10n-4∙4n+3n+3=4∙10n-4∙4n+3n+9n-9n+6∙10n+
+3=4∙10n-4∙4n+12n-9n+6∙10n+3=
=410n-4n+3n-9n+32∙10n+1.
Проведя преобразования, получили сумму, где 410n-4n+3nделиться на 9, так как мы допустили, что 10n-4n+3n делиться на 9, -9n делиться на 9, осталось показать, что 32∙10n+1делиться на 9 или что тоже самое, что 2∙10n+1 делиться на 3. Проведем доказательство тем же методом математической индукции.
Пусть 2∙10n+1 делиться на 3, покажем для n+1:
2∙10n+1+1=2∙10n10+10-10+1=102∙10n+1-9.
Очевидно, что 10(2∙10n+1) делиться на 3 и -9 делиться на 3, то есть утверждение доказано, а значит доказано и исходное.

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...