Найти закон колебания бесконечной струны если в начальный момент ее форма задается равенством

Найти закон колебания бесконечной струны, если в начальный момент ее форма задается равенством: ux,t={0, если x>l, l-xc, если 0<x<l, l+xc, если-l<x<0. Начальные скорости и внешняя возмущающая сила равны нулю. Построить графики формы струны в моменты времени t=0, t=l4α, t=l2α, t=3l4α, t=lα.
Вариант 2
l=10, c=100.

Решение:

Имеем следующую задачу Коши для волнового уравнения
∂2u∂t2=α2∂2u∂x2, x∈-∞,+∞, t>0,
(1)
с начальными условиями
ux,tt=0=φx=0, если x>10, 10-x100 если 0<x<10, 10+x100 если -10<x<0.
(2)
∂u∂tt=0=ψx=0.
(3)
Воспользуемся формулой Даламбера для решения волнового уравнения для неограниченной струны
ux,t=12φx-αt+φx+αt+12ax-αtx+αtψsds.
В нашем случае (ψx=0) решение имеет вид
ux,t=12φx+αt+φx-αt,
(4)
где функция φx определяется формулой (2).
Построим предельные характеристики, проходящие через концы интервала -10, 10, см. рис. 1.

Рис. 1
Волна распространяющаяся вправо и волна распространяющаяся влево пересекаются до момента времени
-l+αt=l-αt, ⟹ t*=2l2α=10α.
В момент времени t график формы струны представляет собой сумму двух графиков: 12φ(x+αt) − волна, распространяющаяся влево (на рис. 2 изображена красным цветом), это график 12φ(x) смещенный влево на расстояние αt и 12φ(x-αt) − волна, распространяющаяся вправо (на рис. 2 изображена синим), это график 12φ(x) смещенный вправо на αt. Результирующая форма струны на рис. 2 изображена черным цветом для моментов времени t0=0, t1=l4α, t2=l2α, t3=3l4α, t4=lα.

Читайте также:  При испытании на изгиб образцов из сплава АМг6Т сваренных аргонодуговой сваркой были получены следующие значения угла загиба (до появления трещины) (в градусах)

а) t=0.

б) t=l4α.

в) t=l2α.

г) t=3l4α.

д) t=lα.
Рис. 2

Если использовать тета-функцию (ступенька)
θx=1, при x≥0,0, при x<0,
то начальную форму струны (2) можно представить в виде
φx=θx+10-θx10+x100+θx-θx-l10-x100=
=1100θx+10x+10-2θxx+θx-10x-10.
Решение (4) тогда запишется единой формулой
ux,t=1200θx+αt+10x+αt+10-2θx+αtx+αt+θx+αt-10x+αt-10+θx-αt+10x-αt+10-2θx-αt(x-αt)+θx-αt-10x-αt-10

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...