Определить среднюю скорость движения на всем пути следования; структурные средние: мода, медиана, первый и третий квартиль.

Автомобиль проехал 180 км пути с различной скоростью по участкам. Таблица 1
Исходные данные
Скорость на участке, км/час 40 50 65 75 80 90 100
Длина участка, км 8 15 26 45 40 36 10
Определите:
среднюю скорость движения на всем пути следования;
структурные средние: мода, медиана, первый и третий квартиль;
показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсия, коэффициент вариации;
коэффициент асимметрии;
дать графическое изображение и выводы по результатам расчетов.
Решение:
Любое статистическое исследование начинается со сбора информации в соответствии с поставленной задачей. Далее результаты статистического наблюдения необходимо систематизировать и рассчитать обобщающие показатели, характеризующие ряд распределения (средние, показатели вариации и др.), для выявления закономерностей, присущих анализируемой совокупности единиц.
Средними величинами в статистике называют обобщающие показатели, выражающие типичные, характерные для определенных условий места и времени размеры и количественные соотношения явлений общественной жизни.
Для расчета характеристик построим таблицу для расчета вспомогательных показателей.

Таблица 2
Скорость на участке, км/час, xi Длина участка, км, fi Накопленная длина
1 2 3 5 6 7 8 9 10
40 8 8 320 -35,444 35,444 283,556 1256,309 10050,469
50 15 23 750 -25,444 25,444 381,667 647,420 9711,296
65 26 49 1690 -10,444 10,444 271,556 109,086 2836,247
75 45 94 3375 -0,444 0,444 20,000 0,198 8,889
80 40 134 3200 4,556 4,556 182,222 20,753 830,123
90 36 170 3240 14,556 14,556 524,000 211,864 7627,111
100 10 180 1000 24,556 24,556 245,556 602,975 6029,753
Всего 180 — 13580 -22,111 122,444 1916,556 2857,605 37103,889

Для вычисления средней в интервальных рядах сначала определяют среднее значение интервала как полу-сумму верхней и нижней границы, а затем рассчитывается средняя величина по формуле средне арифметическая взвешенная:
,
где xi – середина i-го интервалов;
fi – частота i-го интервала.
По данным таблицы 2 получаем:
,
Таким образом, средняя скорость на всем пути составляет 75,444 км/час.
Структурными средними являются мода, медиана, квартили и др. Эти величины также используются в качестве характеристики вариационного ряда.
Мода (Мо) – варианта, встречающаяся в изучаемой совокупности чаще всего, т.е. варианта, которой соответствует наибольшая частота.
Для дискретного ряда варианта, против которой располагается наибольшая частота, и будет модой. В данном случае наибольшая частота равна 45 км и принадлежит скорости, равной 75 км/час.
Медиана (Ме) – варианта, находящаяся в средине ряда распределения.
Для определения медианы в дискретном ряду сначала порядковый номер медианы по формуле: , а затем определяют, какое значение признака обладает накопленной частотой, равной номеру медианы.
В данном случае порядковый номер медианы
Для определения медианы нужны значения двух элементов – х90 и х91. Определяем их значение с помощью самой первой накопленной частоты большей или равной порядковым номерам элементов (90 и 91):
; .
Теперь определяем значение медианы:
км/час
Представим данные на графике.

Читайте также:  Сколько нужно взять слагаемых ряда n=1∞1n4+1, чтобы получить его сумму с точностью до 0.01?

Рис. 1. Графическое представление

Для характеристики социально-экономического явления, отраженного рядом распределения, следует рассчитать первый и третий квартиль (второй равен медиане) по следующим формулам, аналогичным медиане.
Определим порядковые номера первой и третьей квартилей:
, .
Для определения первой квартили нужны значения двух элементов – х45 и х46. Определяем их значение с помощью самой первой накопленной частоты большей или равной порядковым номерам элементов (45 и 46):
; .
Теперь определяем значение первой квартили:
км/час
Для определения третьей квартили нужны значения двух элементов – х135 и х136. Определяем их значение с помощью самой первой накопленной частоты большей или равной порядковым номерам элементов (135 и 136):
; .
Теперь определяем значение третьей квартили:
км/час
Расчет квартилей позволяет отметить, что 25% пути скорость составляла 26 км/час, а 25% – свыше 90 км/час, т.е. в 3,5 раз больше первой группы. Остальные 50% находятся в пределах от 26 до 90 км/час.
Размах вариации представляет собой разность между наибольшим (хmax) и наименьшим (xmin) значениями вариант, т.е.

Читайте также:  Методом наименьших квадратов приблизить функцию многочленами 1 и 2 степени.

Размах вариации скорости (табл.2) равен:
лет
Среднее линейное отклонение () определяется из отношения суммы, взятой по абсолютной величине (без учета знака) отклонения всех вариант от средней арифметической, к объему всей совокупности:

По данным таблицы 2 получаем:

Дисперсия – это средняя из квадратов отклонений значений признака от его средней арифметической величины:

По данным таблицы 2 получаем:

Среднее квадратичное отклонение – это корень квадратный из дисперсии определяется по формулам средней арифметической простой:

По данным, рассчитанным ранее, получаем:

Мерой сравнения степеней колеблемости для двух, трех и более вариационных рядов служит показатель, который носит название коэффициента вариации и определятся по формуле:

Подставляя данные, получаем:

Коэффициент вариации показывает однородность выбранной совокупности: чем он меньше, тем более однородна совокупность. Так как в данном случае коэффициент вариации не превышает 33%, совокупность можно считать однородной.
Сравнивая среднее значение признака с модой и медианой можно отметить, что их значения довольно близки, но не равны между собой. Следовательно, ряд распределения имеет некоторую асимметрию, которая может быть определена по формуле:

Подставляя данные, получаем:

т.е. коэффициент асимметрии больше 0, Мо меньше среднего значения признака и это говорит о небольшой правосторонней асимметрии.

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...