Ошибка выборки

Предельная ошибка выборки равна t-кратному числу средних ошибок выборки:

$[mathop Delta nolimits_x = t cdot mu = t cdot sqrt {frac{{sigma _x^2}}{n}left( {1 - frac{n}{N}} right)} ;; to mathop sigma nolimits_x = sqrt {frac{{sum {{{mathop xnolimits_i }^2} cdot {f_i}} }}{{sum {{f_i}} }} - {{bar x}^2}} ]$

μ – средняя ошибка выборки, рассчитанная с учетом поправки, на которую производится корректировка в случае бесповторного отбора;

t – коэффициент доверия, который находят при заданном уровне вероятности. Так для Р=0,997 по таблице значений интегральной функции Лапласа t=3

Величина предельной ошибки выборки может быть установлена с определенной вероятностью. Вероятность появления такой ошибки, равной или больше утроенной средней ошибки выборки, крайне мала и равна 0,003 (1–0,997). Такие маловероятные события считаются практически невозможными, а потому вероятность того, что эта разность превысит трехкратную величину средней ошибки, определяет уровень ошибки и составляет не более 0,3%.

Определение предельной ошибки выборки для доли

Условие:

Из готовой продукции, в порядке собственно-случайного бесповторного отбора, было отобрано 200 ц, из которых 8 ц оказалось испорчено. Можно ли полагать с вероятностью 0,954, что потери продукции не превысят 5%, если выборка составляет 1:20 часть ее размера?

Дано:

n =200ц – объем выборки (выборочная совокупность)
m =8ц — кол-во испорченной продукции
n:N = 1:20 – пропорция отбора, где N- объем совокупности (генеральная совокупность)
Р = 0,954 – вероятность

Определить: ∆_ω< 5% (согласуется ли то, что потери продукции не превысят 5%)

Решение:

1. Определим выборочную долю-такую долю составляет испорченная продукция в выборочной совокупности:

2. Определим объем генеральной совокупности:

N=n*20=200*20=4000(ц) – количество всей продукции.

3. Определим предельную ошибку выборки для доли продукции, обладающей соответствующим признаком, т.е. для доли испорченной продукции: Δ = t*μ, где µ– средняя ошибка доли, обладающей альтернативным признаком, с учетом поправки, на которую производится корректировка в случае бесповторного отбора; t – коэффициент доверия, который находят при заданном уровне вероятности Р=0,954 по таблице значений интегральной функции Лапласа: t=2

4. Определим границы доверительного интервала для доли альтернативного признака в генеральной совокупности, т.е. какую долю испорченная продукция составит в общем объеме: поскольку доля испорченной продукции в выборочном объеме составляет ω = 0,04, то с учетом предельной ошибки ∆_ω= 0,027 генеральная доля альтернативного признака (p) примет значения:

ω-∆_ω < p < ω+∆_ω

0.04-0.027< p < 0.04+0.027

0.013 < p < 0.067

Вывод: с вероятностью Р=0,954 можно утверждать, что доля испорченной продукции при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала (не менее 1,3% и не более 6,7%). Но остается вероятность того, что доля испорченной продукции может превысить 5% в пределах до 6,7%, что, в свою очередь, не согласуется с утверждением ∆_ω< 5%.

*******

Условие:

Менеджер магазина по опыту знает, что 25% входящих в магазин покупателей, совершают покупки. Предположим, что в магазин вошло 200 покупателей.

Определить:

долю покупателей, совершивших покупки
дисперсию выборочной доли
среднее квадратическое отклонение выборочной доли
вероятность того, что выборочная доля будет в пределах между 0,25 и 0,30

Решение:

В качестве генеральной доли (p) принимаем выборочную долю (ω) и определяем верхнюю границу доверительного интервала.
Зная критическую точку (по условию: выборочная доля будет в пределах 0,25-0,30), строим одностороннюю критическую область (правостороннюю).
По таблице значений интегральной функции Лапласа находим Z
Этот же вариант можно рассматривать и как повторный отбор при условии, если один и тот же покупатель, не купив в 1-й раз, возвращается и совершает покупку.

$omega =frac{m}{n}=frac{50}{200}=0.25$

$sigma =sqrt{pq}=sqrt{p(1-p)}=sqrt{0.25*0.75}=0.433$

$sigma {}^{2}=pq=0.25*0.75=0.1875$
$pleq omega +Delta {}_{omega }=omega +tmu=omega +t*sqrt{frac{omega (1-omega )}{n}}=0.25+t*sqrt{frac{0.25(1-0.25)}{200}}=0.25 +t*0.0306leq 0.30$

$theta {}_{2}=omega +Zsqrt{frac{omega (1-omega )}{n}}=0.25+Z*sqrt{frac{0.25(1-0.25)}{200}}=0.25+Z*0.0306=0.30$

$Z=1.634Rightarrow P=89.68$

В случае, если выборку рассматривать как бесповторную, необходимо среднюю ошибку скорректировать на поправочный коэффициент. Тогда, подставив скоррекированные значения предельной ошибки для выборочной доли, при определении критической области, изменятся Z и P

$mu =sqrt{frac{omega (1-omega )}{n}*(1-frac{n}{N})}=sqrt{frac{0.25*0.75}{200}*(1-frac{50}{200})}=0.0265$

$Z=1.885Rightarrow P=93.98$

Определение предельной ошибки выборки для средней

По данным 17 сотрудников фирмы, где работает 260 человек, среднемесячная заработная плата составила 360 у.е., при s=76 у.е. Какая минимальная сумма должна быть положена на счет фирмы, чтобы с вероятностью 0,98 гарантировать выдачу заработной платы всем сотрудникам?

Дано:

n=17 — объем выборки (выборочная совокупность)
N=260 — объем совокупности (генеральная совокупность)
Х_ср.=360 — выборочная средняя
S=76 — выборочное среднеквадратическое отклонение
Р = 0,98 – доверительная вероятность

Определить: минимально допустимое значение генеральной средней (нижнюю границу доверительного интервала).

Решение:

Для определения доверительного интервала для средней, необходимо найти предельную ошибку для средней: при Р=0,98 по таблице значений интегральной функции Лапласа — t=2.33

$Delta {bar{x}}_{}= t*sqrt{frac{{S}^{2}}{n}*left(1-frac{n}{N} right)}=2.33*sqrt{frac{{76}^{2}}{17}*left(1-frac{17}{260} right)}=41.52$

Из условия определения границ доверительного интервала для средней:

Хср.-Δх≤Х≤ Хср.+Δх определяем нижнюю границу (левосторонняя критическая область): 360-41,52=318,48

Отсюда: 318,48*260=82804,7 у.е. — такова минимальная сумма, которая должна быть положена на счет фирмы.

Ошибка выборки

Определение предельной ошибки выборки для доли

Определение предельной ошибки выборки для средней

Готовые работы на продажу

ошибки атрибуции

Zutom

Компания

Категории

Поддержка

Соцсети