Плотность распределения системы случайных величин X Y задана формулой fXYx

Плотность распределения системы случайных величин X,Y задана формулой
fXYx,y=Cx+2y, 0<x<2, 0<y<30, в противном случае
Найти постоянную C.
Найти одномерные плотности fXx и fYy случайных величин X и Y.
Вычислить вероятность выполнения указанного неравенства 3X+2Y<6.
Вычислить математическое ожидание Mx, My , дисперсии Dx, Dy, коэффициент корреляции rxy.
Составить уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y. Сделать чертеж.

Решение:

Найдем постоянную C, используя условие нормировки:
0203Cx+2ydxdy=1
C02dx03x+2ydy=C02dxxy+y230=C023x+9dx=C3x22+9×20=C6+18=24C
24C=1
C=124
Найти одномерные плотности fXx и fYy случайных величин X и Y.
fXx=03fx,ydy=03124x+2ydy=124xy+2y2230=1243x+9=x8+38
fYy=02fx,ydy=02124x+2ydy=124×22+2yx20=1242+4y=112+y6
Вычислить вероятность выполнения неравенства 3X+2Y<6.
P3X+2Y<6=f0,0+f0,1+f0,2+f1,0+f1,1=124 0+2+4+1+3=1024≈0,42
Вычислить математическое ожидание Mx:
Mx=02x∙x8+38dx=1802×2+3xdx=18×33+3×2220=1883+122=13+34=1312≈1,08
Дисперсия Dx:
Dx= Mx2- M2x
Найдем Mx2=02×2∙x8+38dx=1802×3+3x2dx=18×44+3×3320=184+8=32=1,5
Dx=1,5-1,082=1,5-1,1664=0,3336
Вычислить математическое ожидание My:
My=03y∙112+y6dy=03112y+y26dy=y224+y31830=924+2718=38+96=9048=1,875
Дисперсия Dy:
Dy= My2- M2y
Найдем My2=03y2∙112+y6dy=03112y2+y36dy=y336+y42430=2736+8124=34+278=338=4,125
Dy=4,125-1,8752=4,125-3,515625=0,609375
Найдем коэффициент корреляции rxy:
rxy=Kxyσx∙σy
Kxy=1240203x-1,5∙y-1,875∙x+2ydxdy=1240203x-1,5∙y-1,875∙x+2ydxdy=1240203xy-1,5y-1,875x+2,8125∙x+2ydxdy=1240203x2y-1,5xy-1,875×2+2,8125x+2xy2-1,5y2-3,75xy+5,625ydxdy=12402dx03x2y-1,5xy-1,875×2+2,8125x+2xy2-1,5y2-3,75xy+5,625ydy=12402dx x2y22-1,5xy22-1,875yx2+2,8125yx+2xy33-1,5y33-3,75xy22+5,625y2230=12402-1,125×2+2,8125x+11,8125dx =124-1,125×33+2,8125×22+11,8125×20=124-3+5,625+23,625=1,09375
rxy=1,093750,3336∙0,609375=1,093750,579∙0,781=1,093750,452199=2,42
Составим уравнения прямых линий регрессии Y на X :
y=y+rxyσyσxx-x
y=1,875+2,420,6093750,3336x-1,08
y=1,875+4,42x-1,08
y=4,42x-2,8986
Составим уравнения прямых линий регрессии X на Y:
x=x+rxyσxσyy-y
x=1,08+2,420,33360,609375y-1,875
x=1,325y-1,404

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...