По выборке одномерной случайной величины:
получить вариационный ряд;
построить график эмпирической функции распределения F*(x);
построить гистограмму (например, равноинтервальным способом);
вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии (γ = 0,95);
выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия χ2 и критерия Колмогорова (α = 0,05). График гипотетической функции распределения F0(x) построить совместно с графиком F*(x) в той же системе координат и на том же рисунке.
Таблица 1
0.26 4.26 0.78 0.42 1.59 1.71 0.17 0.04 0.41 0.67
0.42 0.61 0.24 0.39 0.01 0.00 3.38 2.91 0.39 0.26
0.02 2.34 0.36 0.70 0.21 1.14 0.12 1.22 0.69 0.54
1.66 0.60 0.72 0.16 0.05 2.14 0.29 0.81 0.88 0.48
1.04 2.06 1.19 0.63 0.07 0.31 1.25 0.81 1.07 3.79
0.25 0.35 1.36 1.58 0.91 2.00 0.82 0.45 0.05 0.33
0.22 0.61 0.26 1.01 0.20 0.33 0.00 1.56 0.37 1.37
0.10 2.37 0.18 1.27 1.97 4.24 1.70 0.14 0.08 0.26
0.87 3.49 0.02 4.65 0.07 0.33 0.07 0.09 1.27 0.20
0.42 0.78 0.05 0.19 0.44 2.33 0.04 0.15 1.65 0.77
Решение:
По формуле
построим график эмпирической функции распределения F*(x) (рис. 1). Так как F*(x) является неубывающей функцией и все ступеньки графика F*(x) имеют одинаковую величину 1/n (или ей кратны – для одинаковых значений), таблицу значений эмпирической функции распределения F*(x) можно не вычислять, а построить ее график непосредственно по и вариационному ряду, начиная с его первого значения.
Рис. 1. Графики эмпирической F*(x) и гипотетической функций распределения F0(x)
Количество интервалов M, необходимое для построения гистограмм, определим по объему выборки:
.
Для равноинтервальной гистограммы величины hj, Aj, Bj, рассчитаем по формуле:
и заполним все колонки интервального статистического ряда (табл. 2).
Таблица 2
j Aj
Bj
hj
vj
1 0 0.465 0.465 49 0.49 1.054
2 0.465 0.93 0.465 19 0.19 0.409
3 0.93 1.395 0.465 11 0.11 0.237
4 1.395 1.86 0.465 7 0.07 0.151
5 1.86 2.325 0.465 4 0.04 0.086
6 2.325 2.79 0.465 3 0.03 0.065
7 2.79 3.255 0.465 1 0.01 0.022
8 3.255 3.72 0.465 2 0.02 0.043
9 3.72 4.185 0.465 1 0.01 0.022
10 4.185 4.65 0.465 3 0.03 0.065
Равноинтервальная гистограмма имеет вид, представленные на рис. 2.
Рис. 2. Равноинтервальная гистограмма
Вычислим точечную оценку математического ожидания:
Вычислим точечную оценку дисперсии:
Построим доверительный интервал для математического ожидания с надежностью γ = 0,95 по формуле:
,
где – значение аргумента функции Лапласа, т.е. .
Для этого в таблице функции Лапласа найдем значение, равное , и определим значение аргумента, ему соответствующее: . Затем вычислим и получим доверительный интервал для математического ожидания:
Построим доверительный интервал для дисперсии с надежностью γ = 0,95 по формуле:
.
Вычислим и получим доверительный интервал для дисперсии:
По виду графика эмпирической функции распределения F*(x) и гистограмм выдвигаем двухальтернативную гипотезу о законе распределения случайной величины H0 – величина X распределена по нормальному закону:
,
H1 – величина X не распределена по нормальному закону:
,
Определим оценки неизвестных параметров m и σ гипотетического (нормального) закона распределения:
,
Таким образом, получаем полностью определенную гипотетическую функцию распределения:
Проверим гипотезу о нормальном законе с помощью критерия χ2. Вычислим значение критерия χ2 на основе равноинтервального статистического ряда (табл. 2) по формуле:
Теоретические вероятности pj попадания в интервалы равноинтервального статистического ряда нормальной случайной величины с параметрами , вычислим по формуле:
.
Результаты расчета сведем в таблицу (табл. 3).
Таблица 3
j Aj
Bj
F0(Aj) F0(Bj) pj
1 0 0.465 0 0.3335 0.3335 0.49 0.0735
2 0.465 0.93 0.3335 0.5098 0.1763 0.19 0.0011
3 0.93 1.395 0.5098 0.6842 0.1744 0.11 0.0238
4 1.395 1.86 0.6842 0.8249 0.1407 0.07 0.0356
5 1.86 2.325 0.8249 0.9176 0.0927 0.04 0.0299
6 2.325 2.79 0.9176 0.9674 0.0498 0.03 0.0079
7 2.79 3.255 0.9674 0.9893 0.0218 0.01 0.0064
8 3.255 3.72 0.9893 0.9971 0.0078 0.02 0.0191
9 3.72 4.185 0.9971 0.9993 0.0023 0.01 0.0262
10 4.185 4.65 0.9993 1 0.0007 0.03 1.2918
Сумма: 1.0000 1 1.5152
Проверяем выполнение контрольного соотношения для pj:
.
В результате получаем .
Вычислим число степеней свободы k = M – 1 – s = 10 – 1 – 2 = 7 и по заданному уровню значимости α = 0.05 из таблицы распределения χ2 выбираем критическое значение .
Так как , то гипотеза H0 о нормальном законе распределения принимается (нет основания ее отклонить).
Проверим гипотезу о нормальном законе с помощью критерия Колмогорова. Построим график F0(x) в одной системе координат с графиком эмпирической функции распределения F*(x) (рис. 1). В качестве опорных точек для графика F0(x) используем 10 значений F0(Aj) из таблицы 3.
По графику определим максимальное по модулю отклонение между функциями F*(x) и F0(x) (рис 1):
Вычислим значение критерия Колмогорова:
.
Из таблицы Колмогорова по заданному уровню значимости α = 0.05 выбираем критическое значение λγ = λ1-α = λ0.95 = 1.36. Так как λ = 1.86805 ≤ λ0.95 = 1.36, то гипотезу H0 о нормальном законе распределения отвергать нет основания.
