Предприятие производит х единиц продукции в месяц и реализует ее по цене p(x). Суммарные издержки производства составляют z(x). Найти объем производства х, при котором прибыль предприятия v(x) максимальна.
2. По заданным значениям затрат X и выпуска Y методом наименьших квадратов найти коэффициент технического прогресса A и коэффициент эластичности однофакторной производственной функции .
1
2 X 1 2 3 4 5
Y 2,9 4,5 6,0 7,2 7,7
Решение:
1. Предприятие производит х единиц продукции в месяц и реализует ее по цене . Суммарные издержки производства составляют .
Найдем объем производства х, при котором прибыль предприятия будет максимальной.
В простейшем случае прибыль v можно выразить формулой:
,
где w – объем выпуска продукции.
Ясно, что . Тогда . Конкретно:
или
Для отыскания точки максимума такой функции воспользуемся известной теоремой Ферма. Продифференцируем эту функцию и приравняем производную нулю.
Отсюда x = 134,211.
Итак, при объеме производства x = 134,211 прибыль предприятия будет максимальной. Ее величина составляет:
Приведем график зависимости величины прибыли от объема производства.
2. Логарифмируя искомую функцию , получаем:
(1)
Обозначим , , , . Тогда уравнение (1) примет вид:
(2)
В среде Excel находим соответствующие исходным данным значения x и y, а именно, , .
X Y x y
1 2,9 0,000 1,065
2 4,5 0,693 1,504
3 6,0 1,099 1,792
4 7,2 1,386 1,974
5 7,7 1,609 2,041
Параметры а, b линейной модели (2) находим методом наименьших квадратов, решая нормальную систему линейных алгебраических уравнений:
(3)
Для решения системы (3) формируем следующую таблицу и находим коэффициенты системы.
x y x2 x∙y
1 0,000 1,065 0,000 0,000
2 0,693 1,504 0,480 1,042
3 1,099 1,792 1,208 1,969
4 1,386 1,974 1,921 2,736
5 1,609 2,041 2,589 3,284
∑ 4,787 8,376 6,198 9,031
Итак:
Следовательно, система (3) принимает вид:
(4)
Решаем систему (4) матричным методом. Для этого вводим матрицу коэффициентов системы А, столбец свободных членов В и столбец неизвестных Х:
В этих обозначениях системе (4) соответствует матричное уравнение AX = B. Его решение находится так: . Последовательность действий и получение результата в среде Excel представлены ниже:
Исходная матрица
Обратная матрица
A
C
5 4,787
0,768 -0,593
4,787 6,198
-0,593 0,619
Правая часть
Неизвестные
Х=CB
Х
8,376
a
1,075
9,031
b
0,626
Правый столбец этой таблицы содержит результаты матричных преобразований, а именно, , . Стало быть, уравнение (2) таково:
(5)
Для сравнения приведем таблицу исходных и сглаженных данных:
y 1,065 1,504 1,792 1,974 2,041
y* 1,075 1,509 1,763 1,943 2,082
Перейдем от линейной модели (5) к искомой степенной модели . Из формул , находим искомые параметры:
, .
Таким образом, однофакторная производственная функция имеет следующий аналитический вид:
(6)
Построим графики исходных (Ряд 1) и сглаженных по формуле (6) данных (Ряд 2).
Ответ: 1. Объем производства х, при котором прибыль предприятия v(x) будет максимальна, равен 3632,37;
2. коэффициент технического прогресса A равен 2,93, коэффициент эластичности равен 0,626, однофакторная производственная функция имеет вид .
