Предприятия располагает тремя производственными ресурсами (сырьем, оборудованием, электроэнергией) и может организовать производство продукции двумя различными способами. Расход ресурсов за 1 месяц и общий ресурс при каждом способе производства даны в таблице (в условных единицах):
Производственные ресурсы Расход ресурсов за 1 месяц работы Общий ресурс
Сырье 1 2 4
Оборудование 1 1 3
Электроэнергия 2 1 7
При первом способе производства предприятие выпускает за 1 месяц 3000 изделий, при втором – 4000 изделий. Сколько месяцев должно работать предприятие каждым из способов, что при наличных ресурсах обеспечить максимальный выпуск продукции?
Решение:
Составим математическую модель задачи.
Обозначим через x1,x2 – количество месяцев работы по каждому из двух способов. Из логики задачи вытекает условие неотрицательности и целочисленности переменных: x1,x2≥0, целые.
Учитывая нормы расхода ресурсов и их общий запас, получаем ограничения на ресурсы:
– для сырья:
x1+2×2≤4
– для оборудования:
x1+x2≤3
– для электроэнергии:
2×1+x2≤7
Наша цель – максимальный выпуск продукции, поэтому с объемов производства по каждому из способов, получаем следующую задачу целочисленного линейного программирования:
f=3000×1+4000×2→max
При ограничениях:
x1+2×2≤4×1+x2≤32×1+x2≤7×1,x2≥0,целые
Т.к. переменных в задаче – только две, то решим задачу графически.
Наносим на координатную плоскость областьD, задаваемую нашими ограничениями. Заменяем знаки неравенств в ограничениях на знаки точных неравенств и определяем полуплоскости, задаваемые неравенствами (римскими цифрами обозначены соответствующие ограничения):
Наносим на координатную плоскость линию уровня функции цели, например,3000×1+4000×2=0, направление ее максимального роста (перпендикуляр к линии)и осуществляем параллельный перенос функции цели на край нашей области ограничений (с учетом целочисленности переменных) и получаем, что максимум функции цели достигается в точке пересечения прямых Iи II:
Как видим, максимум целевой функции достигается при x1=2,×2=1, т.е. для обеспечения максимального выпуска продукции предприятию необходимо два месяца работать первым способом, а один – вторым, общий выпуск продукции при этом составит f=3000∙2+4000∙1=10000 ед. продукции.
