При испытании на изгиб образцов из сплава АМг6Т, сваренных аргонодуговой сваркой были получены следующие значения угла загиба (до появления трещины) (в градусах):
152 148 158 129 155 165 129 137 152 158
155 164 171 157 152 145 143 155 151 147
142 136 130 139 154 147 157 164 161 154
145 130 135 160 151 131 134 139 151 157
131 133 139 153 160 164 170 177 169 174
169 175 156 153 145 149 146 138 133 150
132 176 138 144 139 146 140 150 141 156
176 140 173 144 153 156 163 168 150 174
146 158 140 163 155 167 162 149 162 148
166 153 168 172 158 159 177 162 156 145
Длина интервала h = 6.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.
Составить интервальный ряд распределения.
Построить гистограмму.
Вычислить оценки математического ожидания (М.О) и среднего квадратичного ожидания (С.К.О.)
Построить доверительный интервал для М.О. и С.К.О. с надежностью (доверительной вероятностью) γ=0,95.
Используя критерий согласия (Пирсона) выяснить не противоречит ли принятая гипотеза о виде закона распределения опытным данным.
Построить кривую нормального закона, совместив её с графиком гистограммы распределения, приведя в соответствие масштабы.
Решение:
1) Проранжируем статистические данные:
129 129 130 130 131 131 132 133 133 134
135 136 137 138 138 139 139 139 139 140
140 140 141 142 143 144 144 145 145 145
145 146 146 146 147 147 148 148 149 149
150 150 150 151 151 151 152 152 152 153
153 153 153 154 154 155 155 155 155 156
156 156 156 157 157 157 158 158 158 158
159 160 160 161 162 162 162 163 163 164
164 164 165 166 167 168 168 169 169 170
171 172 173 174 174 175 176 176 177 177
Нам дана выборка размера (объема) 100 чисел. Для начала, найдем минимальное xmin=129 и максимальное xmax=177 числа в этой выборке. Тогда размах выборки (разница между максимальным и минимальным числом) равен R=177-129=48. По формуле Стерджесса найдем количество интервалов:
k=1+3,32∙lgN=1+3,32∙lg100≈8
Длина одного интервала определяется по формуле:
h=Rk=488=6
Составим вспомогательную таблицу:
№ Интервал Частота ni
Относительная частота ni/n
плотность частоты ni/(N∙h)
Накопленная относит. частота Середины интервалов
xi
xi+1
1 129 135 10 0,1 0,02 0,02 132
2 135 141 12 0,12 0,02 0,22 138
3 141 147 12 0,12 0,02 0,34 144
4 147 153 15 0,15 0,03 0,49 150
5 153 159 21 0,21 0,04 0,7 156
6 159 165 12 0,12 0,02 0,82 162
7 165 171 8 0,08 0,01 0,9 168
8 171 177 10 0,1 0,02 1 174
=
100 1,00
Интервальный ряд:
№ Интервал
Частота ni
xi
xi+1
1 129 135 10
2 135 141 12
3 141 147 12
4 147 153 15
5 153 159 21
6 159 165 12
7 165 171 8
8 171 177 10
2)Изобразим интервальный ряд графически в виде гистограммы:
Рисунок 1. Гистограмма частот
3) Построим вспомогательную таблицу:
№ xi
Частота ni
Относительная частота ni/n
xi∙ni
xi-x
xi-x2
ni∙xi-x2
1 132 10 0,1 1320 -20,58 423,54
4235,36
2 138 12 0,12 1656 -14,58 212,58 2550,92
3 144 12 0,12 1728 -8,58 73,62 883,40
4 150 15 0,15 2250 -2,58 6,66 99,85
5 156 21 0,21 3276 3,42 11,70 245,62
6 162 12 0,12 1944 9,42 88,74 1064,84
7 168 8 0,08 1344 15,42 237,78 1902,21
8 174 10 0,1 1740 21,42 458,82 4588,16
132 100 1 15258
15570,36
Математическое ожидание равно выборочной средней. По формуле:
M=x=1Ni=1nxipi=15258100≈152,58
Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака X от среднего значения x. По формуле:
Dвыб=1Ni=1nnixi-x2=15570,36100≈155,70
Выборочное среднее квадратическое отклонение:
σ=Dвыб=155,70≈12,48
Исправленная выборочная дисперсия:
Dисправ=Dвыб∙NN-1=155,70∙100100-1≈157,28
Исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение:
s=Dисправ=157,28≈12,54
4) Определим интервальную оценку математического ожидания по выборочному среднему, т.е. интервал в котором находится математическое ожидание с вероятностью 0,95:
xв*-tγS*n<m<xв*-tγS*n
xв*=152,58
S*=12,54
n=100=10
2Фt=γ2=0,952=>Фt=0,475
tγ=1,96 (по таблице критических точек распределения Стьюдента).
Определим точность оценки:
δ=tγS*n=1,96∙12,5410=2,46
152,58-2,46<m<152,58+2,46
150,12<m<155,04
Определим интервальную оценку среднего квадратического отклонения по исправленному выборочному среднему отклонению:
S*1-q<σ*<S*1+q
qγ, n=q0,95,100=0,143 (по таблице).
12,541-0,143<σ*<12,541+0,143
10,75<σ*<14,33
5) Используя критерий согласия «хи-квадрат» Пирсона, проверим соответствие данных нормальному распределения при уровне значимости 0,05. Нулевая гипотеза H0 – исследуемый признак Х имеет нормальное распределение. В соответствии с критерием заменим крайние значения крайних интервалов на -∞ и ∞, вычислим значения zi=xi-xσ для каждого интервала и найдем для каждого из этих аргументов значение функции Лапласа. После этого вычислим критерий Пирсона χ2=ni-npi2npi:
№ xi
xi+1
ni
zi
Ф(zi) Npi
1 -∞
135 10 ∞
0,50 0,08 7,93 0,54
2 135 141 12 1,41 0,42 0,10 9,69 0,55
3 141 147 12 0,93 -0,32 0,15 15,02 0,61
4 147 153 15 0,45 -0,17 0,19 18,56 0,68
5 153 159 21 0,03 0,01 0,18 18,30 0,40
6 159 165 12 0,51 0,19 0,15 14,64 0,48
7 165 171 8 1,00 0,34 0,09 8,92 0,10
8 171 ∞
10 1,48 0,43 0,07 6,94 1,35
1,000 100,000 4,695
Так как предполагаемое распределение нормально, то мы оценивали два параметра, следовательно, число степеней свободы k=m-3, где m – количество интервалов, k=8-3=5. Зная уровень значимости α=0,05 и k=5 по таблице – распределения находим . Поскольку , следовательно, принимаем нулевую гипотезу. Таким образом, гипотеза о нормальном распределении признака согласуется с имеющимися данными.
6) Построим график теоретического распределения и совместим его с гистограммой статистического распределения.
fx=pi∆x
Рисунок 2. Гистограмма частот и функция плотности распределения.
