Приближенное решение уравнения =0, графически, методом хорд, методом итерации, методом Ньютона.
Решение.
Применим графический метод отделения корней:
Если – сложная функция, то её надо представить в виде INCLUDEPICTURE “http://uchil.net/images/49/45/4494945.png” * MERGEFORMATINET так, чтобы легко строились графики функций INCLUDEPICTURE “http://uchil.net/images/49/46/4494946.png” * MERGEFORMATINET и INCLUDEPICTURE “http://uchil.net/images/49/47/4494947.png” * MERGEFORMATINET . Так как , то INCLUDEPICTURE “http://uchil.net/images/49/49/4494949.png” * MERGEFORMATINET . Тогда абсциссы точек пересечения этих графиков и будут корнями уравнения .
Для данной функции , положим , чтобы выполнялось равенство .
Построим графики функций:
– кривая, исследуем ее некоторые свойства:
Область определения: ,
, значит функция нечетная и график симметричен относительно начала координат.
.
При величина , значит , а при величина , значит .
При величина , значит , то есть (ось Ох) – горизонтальная асимптота.
– парабола.
Рис.1.
По рисунку очевидно, что имеем один корень уравнения, который заключен в промежутке [0,5;1].
Графический метод позволил локализовать единственный корень уравнения. Найдем приближенное решение.
Метод хорд
В точке , , в результате получим первое приближение корня .
Проверяем условия:
1. ,
2. .
Если выполняется условие (1), то в формуле точку a заменяем на , получим: , то есть для – го приближения .
Если выполняется условие (2), то для последующих приближений применяем формулу .
В качестве выбираем тот конец интервала, на котором
Найдем производную второго порядка для :
, ,.
Ранее найдено >0, найдем , тогда , значит .
Таблица 1.
№ =
1 0,5 1 0,8571 -0,2146 0,8999 0,0087 0,0116
2 0,8999 1 0,0283 -0,2146 0,9115 0,0163 0,0003
3 0,9115 1 0,0008 -0,2146 0,9118 0,0165 0,0000
4 0,9118 1 0,0000 -0,2146 0,9119 0,0165
Тогда .
Метод итерации
Приведем уравнение к виду, удобному для итераций: . Для этого уравнение выразим следующим образом:
.
Найдем первую производную функции :
;
Найдем значение производной на концах отрезка:
;;
Следовательно, на отрезке [0,5;1] равенство || 1 не выполняется и к уравнению нельзя применить метод итерации.
Выразим другим способом: , так как на отрезке [0,5;1] .
Откуда принимая найдем
Найдем значение производной на концах отрезка:
;.
Следовательно, на отрезке [0,5;1] равенство || 1 выполняется и к уравнению можно применить метод итерации.
За начальное приближение возьмем х0 =0,5, все остальные приближения будем определять из равенства: , результаты сведем в таблице 2.
Таблица 2
i
0 0,5000 0,2136 1,0522 0,5522
1 1,0522 -0,2963 0,8718 0,1805
2 0,8718 -0,0430 0,9240 0,0523
3 0,9240 -0,1079 0,9082 0,0158
4 0,9082 -0,0875 0,9129 0,0047
5 0,9129 -0,0935 0,9115 0,0014
6 0,9115 -0,0917 0,9119 0,0004
7 0,9119 -0,0923 0,9118 0,0001
8 0,9118 -0,0921 0,9119 0,0000
Поскольку , то процесс можно завершить. Таким образом получено решение .
Метод Ньютона (метод касательных).
В качестве начального приближения x0 выбираем один из концов интервала изоляции корня. С этой целью находим QUOTE f”x: f”x=6x>0 на интервале (1;2). В качестве выбираем тот конец интервала, на котором , QUOTE fx0∙f”x0>0. .
Ранее в п.1. найдено Найдем производную второго порядка для :
, . Причем >0 и , тогда , значит .
Для вычислений последовательных приближений применим формулу
где
Тогда , , …
Результаты вычислений оформляем в виде таблицы:
Таблица 3.
n xn
f(xn)
f'(xn)
∆=f(xn)f'(xn)
xn+1=xn-∆
0 1,0000 -0,2146 -2,5000 0,0858 0,9142
1 0,9142 -0,0055 -2,3731 0,0023 0,9119
2 0,9119 0,0000 -2,3697 0,0000 0,9119
Так как QUOTE f(x4)≈0 то – корень уравнения.
Решение:
рис.1, уравнение имеет единственный корень на отрезке [0,5;1], метод хорд: , метод итераций , метод Ньютона .
