Министерство образования и науки Российской Федерации
федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова»
Кафедра математики
КУРСОВАЯ РАБОТА
По дисциплине Математика
На тему
Приложения определенного интеграла
Пятышева Анастасия Андреевна
Руководитель
ст. преподаватель
Бородкина Т. А.
Архангельск 2014
ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ
Приложения определенного интеграла
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ:
14. ;
15. ;
16. ;
17. ;
19. ; 20.
21. y=x3, y= ; 22.
ВВЕДЕНИЕ
В данной курсовой работе, передо мной поставлены следующие задачи: вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций, ограниченных линиями, заданными уравнениями, также ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах, вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат, заданных параметрическими уравнениями, заданных уравнениями в полярных координатах, а также вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями, ограниченных графиками функций, и образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций вокруг полярной оси. Мною была выбрана курсовая работа по теме «Определенный интеграл. В связи с этим, я решила узнать, как легко и быстро можно использовать интегральные вычисления, и насколько точно можно вычислить поставленные передо мной задачи.
ИНТЕГРАЛ одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой – измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.
Раскрытие темы курсовой работы я провела по следующему плану: определение определенного интеграла и его свойства; длина дуги кривой; площадь криволинейной трапеции; площадь поверхности вращения.
1. ТЕОРИЯ
Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.
Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то это выражение известно под названием формулы Ньютона-Лейбница:
(1)
Основные свойства определенного интеграла:
Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю:
(2)
Если f(x)=1, то:
(3)
При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:
(4)
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
(5)
Если функции интегрируемы на , тогда интегрируема на их сумма и интеграл от суммы равен сумме интегралов:
(6)
Существуют также основные методы интегрирования, например замена переменной,:
(7)
Исправление дифференциала:
(8)
Формула интегрирования по частям дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться более простым:
= (9)
Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что для непрерывной и неотрицательной функции представляет собой в геометрическом смысле площадь соответствующей криволинейной трапеции.
(10)
Кроме того, с помощью определенного интеграла можно найти площадь области, ограниченной кривыми , прямыми и , где
(11)
Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически прямыми x = a и x = b и осью Ox, то площадь ее находится по формуле, где определяются из равенства :
. (12)
Основная область, площадь которой находят с помощью определенного интеграла- криволинейный сектор. Это область, ограниченная двумя лучами и кривой, где r и – полярные координаты:
(13)
Если кривая является графиком функции где , а функция ее производная непрерывны на этом отрезке, то площадь поверхности фигуры, образованной вращением кривой вокруг оси Ox, можно вычислить по формуле:
. (14)
Если функция и ее производная непрерывны на отрезке то кривая имеет длину, равную:
(15)
Если уравнение кривой задано в параметрической форме
где x(t) и y(t) – непрерывные функции с непрерывными производными и то длина кривой находится по формуле:
. (16)
Если кривая задана уравнением в полярных координатах , где и непрерывны на отрезке , тогда длину дуги можно посчитать следующим образом:
(17)
Если вокруг оси Ox вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией отрезком и прямыми x = a и x = b, то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Ox, будет равен:
(18)
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми x = 0, y = c, y = d (c < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:
(19)
Если фигура ограничена кривыми и (находится «выше», чем и прямыми x = a, x = b, то объем тела вращения вокруг оси Ox будет равен:
, (20)
а вокруг оси Oy (:
. (21)
Если криволинейный сектор вращать вокруг полярной оси, то площадь полученного тела можно найти по формуле:
(22)
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Задача 14: Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций:
1)
1) Решение:
Рисунок 1 – График функций
2) Найдем пределы интегрирования.
X меняется от 0 до
x1 = -1 и x2 = 2 – пределы интегрирования (это видно на Рисунке 1).
3) Посчитаем площадь фигуры, использую формулу (10).
Ответ: S = .
Задача 15: Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями:
1) Решение:
Рисунок 2 – График функций
Рассмотрим функцию на интервале [0,12р].
|
t |
0 |
р/6 |
р/4 |
р/3 |
р/2 |
р |
2р |
||
|
x |
0 |
р-3 |
2р-3 |
3р-6 |
6р |
9р+6 |
12р |
||
|
y |
0 |
6-3 |
6- |
3 |
6 |
12 |
6 |
0 |
Рисунок 3 – Таблица переменных для функции
Так как , то на этом периоде поместиться 1 дуга. Эта дуга состоит из центральной части (S1) и боковых частей. Центральная чаcть состоит из искомой части и из прямоугольника (Sпр):. Посчитаем площадь одной центральной части дуги.
2) Найдем пределы интегрирования.
и y = 6, следовательно
Для интервала [0,12р] – пределы интегрирования.
3) Найдем площадь фигуры, используя формулу (12).
интеграл криволинейный трапеция
Ответ: S =
Задача 16: Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:
,
1) Решение:
Рисунок 4 – График функций ,
|
ц |
0 |
р/6 |
р/4 |
-р/6 |
-р/4 |
-р/3 |
-р/2 |
|
|
r1 |
1 |
(0 |
||||||
|
r2 |
2 |
1 |
0 |
Рисунок 5 – Таблица переменных функций ,
2) Найдем пределы интегрирования.
следовательно –
3) Найдем площадь фигуры, используя формулу (13).
Ответ: S =.
Задание 17: Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат:
1) Решение:
Рисунок 6- График функции
|
x |
0 |
1 |
ln |
ln |
ln |
ln |
2 |
-1 |
-2 |
-3 |
1,5 |
|
|
y |
1 |
2-e |
2- |
2- |
2-2 |
2-e2 |
2-1/e |
2-1/e2 |
2-1/e3 |
2-e2 |
Рисунок 7 -Таблица переменных функции
2) Найдем пределы интегрирования.
меняется от ln до ln, это очевидно из условия.
3) Найдем длину дуги, используя формулу (15).
Ответ: l =
Задание 18: Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями: 1)
1) Решение:
Рисунок 8- График функции
|
t |
0 |
р/6 |
р/4 |
р/3 |
р/2 |
2р/3 |
3р/4 |
5р/6 |
р |
|
|
x |
6 |
3 |
3р |
2р-3 |
-6 |
|||||
|
y |
0 |
6 |
6р |
Рисунок 9- Таблица переменных функций
2) Найдем пределы интегрирования.
t меняется от 0 до р, это очевидно из условия.
3) Найдем длину дуги, используя формулу (16).
Ответ:
Задание 19: Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах: 1)
1) Решение:
Рисунок 10- График функции
|
ц |
-р/3 |
-р/4 |
-р/6 |
0 |
|
|
с |
2,5 |
1,5 |
0,75 |
0 |
Рисунок 11- Таблица переменных функции
2) Найдем пределы интегрирования.
ц меняется от , это очевидно из условия.
Найдем длину дуги, используя формулу (17).
Ответ:
Задание 20: Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
1) Решение:
Рисунок 12 – График функций :
2) Найдем пределы интегрирования.
Z меняется от 0 до 3.
3) Найдем объем фигуры, используя формулу (18)
Ответ:
Задание 21: Вычислить объемы тел, ограниченных графиками функций, ось вращения Ох: 1)
1) Решение:
Рисунок 13 – График функций
|
x |
0 |
1 |
2 |
-1 |
-2 |
|
|
y |
0 |
1 |
8 |
-1 |
-8 |
Рисунок 14- Таблица графика функции
|
x |
0 |
1 |
4 |
|
|
y |
0 |
1 |
2 |
Рисунок 15- Таблица графика функции
2) Найдем пределы интегрирования.
Точки (0;0) и (1;1) являются общими для обоих графиков, следовательно это и есть пределы интегрирования, что очевидно на рисунке.
3) Найдем объем фигуры, используя формулу (20).
Ответ:
Задание 22: Вычислить площадь тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций, вокруг полярной оси:
1) Решение:
Рисунок 16 – График функции
|
ц |
0 |
р/4 |
р/6 |
-р/4 |
-р/4 |
|
|
с |
1 |
0 |
0 |
Рисунок 17- Таблица переменных для графика функции
2) Найдем пределы интегрирования.
ц меняется от
3) Найдем площадь фигуры, используя формулу (22).
Ответ: 3,68
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В процессе выполнения курсовой работы на тему «Определенный интеграл», я научилась вычислять площади разных тел, находить длины различных дуг кривых, а также вычислять объемы. Данное представление о работе с интегралами, поможет мне в будущей профессиональной деятельности, как быстро и оперативно выполнять различные действия. Ведь сам интеграл – одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой – измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Ч.1 – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. – 288 с.
2. Бугров, Я.С., Никольский, С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление: Т.2 – М.: Дрофа, 2004. – 512 с.
3. Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. — Изд. 4-е — М.: МЦНМО, 2002. –664 с.
4. Кузнецов Д.А. «Сборник задач по высшей математики» Москва, 1983 г.
5. Никольский С. Н. «Элементы математического анализа». – М.: Наука, 1981г.
