Привести к каноническому виду уравнение tg2x uxx-2y tg x uxy+yuyy+tg3x ux=0
Замечание: в условии скорее всего опечатка и нужно так
tg2x uxx-2y tg x uxy+y2uyy+tg3x ux=0
Во-первых, если посмотреть окрестные задачи, то они примерно все одинакового уровня сложности. А ваша, если не исправить опечатку, становится совершенно не подъемной. Очень похожая – 29-я задача, и в ней стоит y2. А если решать Вашу задачу в изначальной постановке, то получится очень корявое и громоздкое решение. Вряд ли у преподавателя цель вас добить такими вычислениями. Потому решаю с исправленной опечаткой. В конце покажу, какие проблемы возникают в исходной постанове (если опечатку не исправлять).
Решение:
tg2x uxx-2y tg x uxy+y2uyy+tg3x ux=0
a=tg2x; b=-y tg x; c=y2.
Вычислим дискриминант D=b2-ac=-y tg x2-tg2x∙y2=0
Следовательно, уравнение параболического типа во всей плоскости Oxy.
Составим характеристическое уравнение
tg2x(dy)2+2y tg x dx dy+y2(dx)2=0
tg x dy+y dx2=0
tg x dy+y dx=0
dxtg x=-dyy, ⟹ dxtg x=-dyy
lnsinx=-lny+c1
sinx=ec1y, ⟹ sinx=c1y, где c1=±ec1
Получили уравнение характеристики
ysinx=c1
В качестве одной новой переменной возьмем эту характеристику, вторую переменную можно взять произвольно, только чтобы преобразование координат не было вырожденным.
Сделаем замену ux,y=vξ,η, где
ξ=ysinxη=x
Частные производные новых переменных
ξx=ycosx, ξy=sinx, ηx=1, ηy=0
Найдем вид уравнения в новых переменных (ξ,η), для этого вычислим частные производные функции u
ux=vξ⋅ξx+vη⋅ηx=ycosxvξ+vη;
uy=vξ⋅ξy+vη⋅ηy=sinxvξ;
uxx=uxx=ycosxvξ+vηx=
=ycosxycosxvξξ+vξη-ysinxvξ+ycosxvξη+vηη=
=y2cos2xvξξ+2ycosxvξη+vηη-ysinxvξ;
uyy=uyy=sinxvξy=sin2xvξξ;
uxy=uyx=sinxvξx=sinxycosxvξξ+vξη+cosxvξ=
=ysinxcosxvξξ+sinxvξη+cosxvξ;
Подставляем найденные частные производные в исходное уравнение
tg2x y2cos2xvξξ+2ycosxvξη+vηη-ysinxvξ-2y tg x ysinxcosxvξξ+sinxvξη+cosxvξ+y2sin2xvξξ+tg3x ycosxvξ+vη=0
Приводим подобные слагаемые, получим
tg2x vηη+tg3x vη=0
vηη+tg x vη=0
vηη+tg η vη=0
Ответ: уравнение параболического типа; канонический вид vηη+tg η vη=0, замена: ξ=ysinx, η=x.
Замечание 2 Если условие оставить, как было, то получится
tg2x uxx-2y tg x uxy+yuyy+tg3x ux=0
a=tg2x; b=-y tg x; c=y.
Вычислим дискриминант D=b2-ac=-y tg x2-tg2x∙y=tg2xy2-y.
Тогда надо рассматривать отдельно случаи в зависимости от знака y2-y, тип уравнения будет различный. Но это не самое страшное
Xхарактеристическое уравнение будет
tg2x(dy)2+2y tg x dx dy+y(dx)2=0
или в виде двух уравнений первого порядка
tg xdydx=-y± y2-y
Это уравнение проинтегрировать довольно сложно. Но даже если это и проделать, то, например, для знака “+” первый интеграл уравнения имеет вид
lnsinx+y-y2-y+12ln-12+y+y2-y=C1
Можно переписать в виде (что не упрощает дело)
lnsinx-12+y+y2-y+y-y2-y=C1
Следовательно, надо брать замену
ξ=lnsinx+y-y2-y+12ln-12+y+y2-y
Так же корявое выражение получится для новой переменной η. А ведь потом в новые переменные надо перейти в первых и вторых производных функции ux,y, что технически трудно осуществимо (по крайней мере, вряд ли это требуют от студента).
В общем, вам надо по этому поводу поговорить с преподавателем.
