Привести к каноническому виду уравнение Uxx+4Uxy+5Uyy+Ux+2Uy=0.

Привести к каноническому виду уравнение Uxx+4Uxy+5Uyy+Ux+2Uy=0.
Решение:
a11=1, a12=2, a22=5.
Вычислим a122-a11a22=22-1⋅5=-1<0 .
Следовательно, уравнение эллиптического типа на всей плоскости Oxy.
Составим характеристическое уравнение
dy2-4 dx dy+5(dx)2=0
Оно эквивалентно двум уравнениям
dy-2+Ddx=0dy-2-Ddx=0⟹dy-2+idx=0dy-2-idx=0 ⟹y-2x-ix=C1 y-2x+ix=C2
Первые интегралы этих уравнений комплексно сопряженные. Возьмем в качестве новых переменных (ξ,η), соответственно, действительную и мнимую части этого выражения. Сделаем замену Ux,y=vξ,η, где
ξ=y-2xη=x
ξx=-2, ξy=1, ηx=1, ηy=0.
Найдем вид уравнения в новых переменных (ξ,η), для этого вычислим частные производные функции U
Ux=vξ⋅ξx+vη⋅ηx=-2vξ+vη;
Uy=vξ⋅ξy+vη⋅ηy=vξ;
В случае линейной замены ξ=ξx,y, η=η(x,y) производные второго порядка вычисляются по формулам
Uxx=vξξ⋅ξx2+2vξη⋅ξx⋅ηx+vηη⋅ηx2=4vξξ-4vξη+vηη;
Uyy=vξξ⋅ξy2+2vξη⋅ξy⋅ηy+vηη⋅ηy2=vξξ;
Uxy=vξξ⋅ξx⋅ξy+vξη⋅ηxξy+ξxηy+vηη⋅ηx⋅ηy=-2vξξ+vξη;
Подставляем найденные частные производные в исходное уравнение
4vξξ-4vξη+vηη+4-2vξξ+vξη+5vξξ+-2vξ+vη+2vξ=0.
Приводим подобные слагаемые
vξξ+vηη+vη=0
Ответ: уравнение эллиптического типа; канонический вид:
vξξ+vηη+vη=0, замена: ξ=y-2x, η=x.

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...