Провести исследование генеральной совокупности, используя выборочные данные:
2 25 3 9 11 16 2 3 23 12,5 7 26 25 9 3
11 18 26 16 12,5 7 9 2 26 25 11 3 7 11 25
25 18 16 3 7 16 18 9 18 23 9 7 26 25 16
18 9 7 11 16 23 25 26 12,5 26 7 11 7 7 11
12,5 16 18 26 25 18 11 18 25 26 16 18 25 16 18
25 23 11 16 18 25 25 23 18 11 25 16 26 25 25
18 25 23 25 23 7 23 25 16 25
1) Построить статистическое распределение выборки и гистограмму частот, полагая шаг .
2) Дать точечные оценки генеральному среднему и дисперсии.
3) Полагая, что выборка сделана из нормальной совокупности, построить доверительные интервалы для её математического ожидания и дисперсии, приняв доверительную вероятность .
4) При уровне значимости =0,01 проверить гипотезу о нормальности генеральной совокупности, используя критерий согласия Пирсона.
Решение:
-36 -34 -33 -32 -31 -30 -29 -28 -27 -26 -25 -24 -23 -22 -21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -1
2 -11 -10 -9
1 1 2 2 2 5 4 3 3 9 13 14 13 18 10 9 14 13 7 10 6 3 5 2 3 1 2
Упорядочив данные выборки по возрастанию, и найдя соответствующие частоты встречающихся значений, получим таблицу, задающую статистическое распределение выборки:
2 3 7 9 11 12,5 16 18 23 25 26
3 5 10 6 10 4 12 13 8 20 9
Разобьём интервал данных на 14 частичных интервалов длины h=2: 2 – 8; 8 – 14; 14 – 20; 20 – 26, и найдём новые частоты , приняв в качестве их значений сумму частот данных выборки, попавших в i-ый интервал. Итак:
n1=2, n2=3,n3=6,n4=11,n5=10,n6=25,n7=40,
n8=41, n9=33,n10=34,n11=23,n12=14,n13=10,n14=6
Вычислим плотности частот и построим таблицу распределения выборки для построения гистограммы частот:
(-37;-35) (-35;-33) (-33;-31) (-31;-29) (-29;-27) (-27;-25) (-25;-23) (-23;-21) (-21;-19) (-19;-17) (-17;-15) (-15;-13) (-13;-11) (-11;-9)
2 3 6 11 10 25 40 41 33 34 23 14 10 6
0,01 0,02 0,03 0,06 0,06 0,14 0,23 0,23 0,19 0,19 0,13 0,08 0,06 0,03
Гистограмма частот изображена на рисунке 4:
Рисунок 4
2. Приняв в качестве новых вариант серединные значения частичных интервалов , построим распределение равноотстоящих вариант для вычисления точечных оценок генеральной средней и дисперсии методом произведений.
-36 -34 -32 -30 -28 -26 -24 -22 -20 -18 -16 -14 -12 -10
2 3 6 11 10 25 40 41 33 34 23 14 10 6
Напомним процедуру вычисления оценок генеральной средней и дисперсии по методу произведений.
Выберем .
Вычислим – условные варианты.
Найдём – условный момент первого порядка,
– условный момент второго порядка.
Тогда:
– выборочная средняя,
– выборочная дисперсия.
Результаты вычислений сведём в таблицу:
1 2 3 4 5 6
-36 2 -6,5 -11 71,5 60,5
-34 3 -5,5 -16,5 90,75 60,75
-32 6 -4,5 -27 121,5 73,5
-30 11 -3,5 -38,5 134,75 68,75
-28 10 -2,5 -25 62,5 22,5
-26 25 -1,5 -37,5 56,25 6,25
-24 40 -0,5 -20 10 10
-22 41 0,5 20,5 10,25 92,25
-20 33 1,5 61,5 92,25 256,25
-18 34 2,5 82,5 206,25 404,25
-16 23 3,5 119 416,5 688,5
-14 14 4,5 103,5 465,75 695,75
-12 10 5,5 77 423,5 422,5
-10 6 6,5 65 422,5 337,5
N=175
=353,5 =2584,25 =3199,25
; ;
;
.
