Прядильная фабрика для производства двух видов пряжи использует три типа сырья – чистую шерсть, капрон и акрил. В таблице указаны нормы расхода сырья, его общее количество и прибыль от реализации тонны пряжи каждого вида.
Тип сырья Нормы расхода сырья на 1 т пряжи Кол-во сырья (т)

Вид 1 Вид 2
Шерсть 0,5 0,2 600
Капрон а 0,6 b
Акрил 0,5-а 0,2 c
Прибыль (руб./т) 1100 900

Составить по этим данным задачу линейного программирования. Графическим методом найти оптимальный план производства пряжи.
Дано:
a = 0,2, b = 850, c = 400.

Решение:

В соответствии с вариантом запишем исходную таблицу:
Тип сырья Нормы расхода сырья на 1 т пряжи Кол-во сырья (т)

Вид 1 Вид 2
Шерсть 0,5 0,2 600
Капрон 0,2 0,6 850
Акрил 0,3 0,2 400
Прибыль (руб./т) 1100 900

Требуется найти такие сочетания нормы расхода сырья на 1 т пряжи, чтобы поступившие заказы полностью удовлетворить с максимальной прибылью.
Определим переменные:
хj – количество сырья, нормируемого по виду j, где j = 1,2.
Ограничения непосредственно связаны с требованием обеспечить изготовление требуемого количества сырья.
Получаем:
– количество сырья из шерсти;
– количество сырья из капрона;
– количество сырья из акрила.
Выражение для суммарной величины прибыли (в руб./т) имеет вид:
.
Таким образом, математическая модель в общем виде имеет вид:
,
при ограничениях:

.
Найдем оптимальный план производства пряжи графическим методом.
1. Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).
Построим уравнение по двум точкам.
Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 3000. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 1200. Соединяем точку (0;3000) с (1200;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:
,
т.е. в полуплоскости ниже прямой.
Построим уравнение по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 1416.67. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 4250. Соединяем точку (0;1416.67) с (4250;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:
,
т.е. в полуплоскости ниже прямой.
Построим уравнение по двум точкам.
Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 2000. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 1333.33. Соединяем точку (0;2000) с (1333.33;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:
,
т.е. в полуплоскости ниже прямой.

2. Границы области допустимых решений.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.
3. Рассмотрим целевую функцию задачи
.
Построим прямую, отвечающую значению функции . Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (1100;900). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых и , то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых.
Решив систему уравнений, получим:
x1 = 500,
x2 = 1250.
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
.