Пьяный человек находится на расстоянии одного метра от своих ворот

Пьяный человек находится на расстоянии одного метра от своих ворот. Он делает шаги только по направлению к воротам. Ввиду неуверенности походки, расстояния шагов разные: от 0 до 1 метра. Сколько в среднем шагов ему понадобится, чтобы попасть во двор (дойти до ворот)? Какова вероятность, что ему хватит 2-ух шагов? Какова вероятность, что ему хватит 3-х шагов?

Решение:

Длина шага – равномерно распределенная в интервале [0;1] случайная величина. Тогда средняя длина шага будет равна математическому ожиданию нашей случайной величины, которое вычисляется по формуле:
Mx=a+b2
Т.е. в нашем случае:
Mx=0+12=0,5
Учитывая, что каждый шаг – независим, получаем среднее число шагов, которое понадобится чтобы попасть во двор:
n=10,5=2
Определим вероятности того, что пьяному хватит 2-ух и 3-ех шагов.
Имеем распределение суммы равномерно распределённых в интервале [0;1] независимых случайных величин, плотность распределения которых имеет вид:
fnx=0;x<01n-1!xn-1;0≤x≤11n-1!xn-1-Cn1x-1n-1;1<x≤21n-1!xn-1-Cn1x-1n-1+Cn2x-2n-1;2<x≤3…1n-1!xn-1-Cn1x-1n-1+…+-1n-1Cnn-1(x-(n-1))n-1;n-1<x≤n0;x>n
Для случаев n=2 и n=3 имеем:
f2x=0;x<0x;0≤x≤12-x;1<x≤20;x>2
f3x=0;x<012×2;0≤x≤112(-2×2+6x-3);1<x≤212×2-6x+9;2<x≤30;x>3
Удобнее вычислить вероятности того, что пьяному не хватит двух и трех шагов соответственно, используя плотность распределения:
Pxn<1=01fn(x)dx
Имеем:
Px2<1=01xdx=x2201=0,5
Px3<1=0112x2dx=x3601=16
Тогда вероятность, что пьяному хватит 2-ух шагов:
Px2≥1=1-Px2<1=1-0,5=0,5
А вероятность, что пьяному хватит 3-х шагов:
Px3≥1=1-Px3<1=1-16=56

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...