Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
Контрольная работа
по дисциплине «Применение основных уравнений механики жидкости и газа при решении инженерно-технических задач»
Тема: «Расчет сложного трубопровода с параллельным соединением труб и элементов»
Студент:
Гусев Н.В.
Москва 2012
Содержание
1. Формулировка задачи исследования
2. Исходные положения и принятые допущения
3. Исходная система основных уравнений
4. Преобразование исходной системы уравнений к форме записи, отвечающей задачи исследования
5. Преобразование до конечного результата полученной системы уравнений
6. Анализ полученных результатов
7. Пример решения задачи
Список использованных источников
1. Формулировка задачи исследования
Сложным трубопроводом называется соединение нескольких труб в различных комбинациях. Далее будем рассматривать сложный трубопровод с параллельным соединением труб и элементов.
Для данной модели проведем исследование с целью установления зависимостей между основными характеристиками трубопровода: расходом Q, напором Н и диаметром трубы d.
2. Исходные положения и допущения
Создание модели движения жидкости по трубопроводу подразумевает наличие допущений:
1. Среда однородная
2. Среда непрерывная, сплошная
3. Идеальная среда – нет сопротивления сдвигу
4. Удельное сопротивление трубопровода является функцией только диаметра трубы
5. Жидкость несжимаемая
3. Исходная система основных уравнений
· Уравнение расхода
(1)
· Уравнение неразрывности
(2)
· Уравнение движения в форме Эйлера
(3),
где – плотность потока – скорость потока – расход – площадь поперечного сечения – вектор плотности массовых сил – давление – механическая (внешняя) работа над объемом – вектор плотности объемных сил – коэффициент Пуассона
4. Преобразование исходной системы уравнений к форме записи, отвечающей задачи исследования
· Вывод уравнения Бернулли:
Рассмотрим уравнение движения в форме Эйлера (3). Спроецируем на оси координат и раскроем производные от проекций скорости по времени:
(1.1)
Т.к. течение плоское, то составляющие скорости по оси y не учитываем. В проекциях на оси координат будет иметь вид: соответственно. Запишем (3) с учетом (1.1)
(1.1а)
(1.1б)
Умножим (1.1а) на , (1.1б) на и сложим
Рассмотрим каждую из скобок полученного выражения.
1) , где – элемент линии тока.
2) Из уравнения линии токов следует
Тогда
3) Введем потенциал массовых сил , тогда
.
4) .
Подставим полученные выражения в (3):
(5) – уравнение Бернулли в дифференциальной форме.
Проинтегрируем вдоль линии тока от точки А до точки Б. Рассмотрим каждое слагаемое.
1) Т.к. движение установившееся
2)
3) Т.к. , тогда
4) Т.к. среда несжимаемая, с=const:
Для реальных жидкостей общее уравнение Бернулли имеет вид:
· Вывод уравнения для подсчета потерь на трение
Установим соответствие между напором H и расходом Q
Рисунок 1
1) Потери напора определяются формулой:
2) Приводим к (скорости на выходе из узла труб): приведенный коэффициент местных потерь:
3) Местные потери заменим эквивалентными потерями на трение на некоторой длине :
Находим
Исходный сложный трубопровод можно заменить эквивалентной трубой с диаметром, скоростью и длиной, равной
Тогда:
Используя (1), запишем:
, тогда:
– потери напора на сопротивление.
5-6. Преобразование до конечного результата полученной системы уравнений. Анализ полученных результатов.
Запишем уравнение Бернулли для каждой из труб (1):
Следовательно, потеря напора для каждой параллельной ветви одна и та же
Тогда для i-ой трубы можно записать:
Таким образом
Количество неизвестных в этом уравнении i+1, следовательно, для решения необходимо еще одно уравнение. Им станет уравнение расхода: очевидно, что суммарный расход будет равен сумме расходов через каждую трубу:
Решение находится в следующем виде: из системы уравнений для определяем все расходы, выраженными через один из них, например, через расход , получая систему:
Делая подстановку в уравнение для суммарного расхода, получим:
Откуда определяется расход первой ветви как
После этого последовательно определяются значения расходов остальных труб.
Потерянный расход Н найдем по одному из уравнений системы, например:
· Итак, система уравнений, необходимых для решения поставленной задачи, выглядит следующим образом:
жидкость трубопровод уравнение бернулли
Решение системы уравнений для трубопровода с заданными размерами удобно получать графическим методом. Для этого, прежде всего, стоят характеристики всех труб системы по уравнению (3). Характеристика представляет собой зависимость потерь напора в трубе от расхода. При турбулентном течении в трубе ее характеристика является практически квадратичной параболой; при ламинарном течении в длинной трубе практически прямой.
Характеристики параллельно работающих ветвей затем суммируют согласно уравнениям (3) и (1.1), т.е. путем сложения абсцисс кривых (расходов) при одинаковых ординатах (напорах). Полученную в результате такого суммирования характеристику разветвленного участка можно рассматривать как характеристику эквивалентной трубы, заменяющей данные параллельные.
Рис 2
На рис. 2 построена характеристика разветвленного участка трубопровода, состоящего из трех параллельных труб.
Характеристику разветвляющегося участка суммируют затем с характеристиками подводящей и отводящей труб путем сложения ординат (напоров) при одинаковых абсциссах (расходах). Полученная в результате кривая является характеристикой сложного трубопровода (рис. 3).
Рис. 3
Полная схема графического расчета сложного трубопровода с двумя параллельными ветвями показана на рис. 4.
Рис. 4
Построенные характеристики позволяют по заданному расходу в одной из ветвей определить потребный напор сложного трубопровода или по заданному располагаемому напору определить расходы во всех трубах.
Для решения первой задачи нужно известный расход, например , отложить на оси абсцисс и через полученную точку А провести вертикаль до пересечения с характеристикой первой вертикали. Ордината полученной при этом точки выражает потери напора в параллельных ветвях: .
Если через точку провести горизонталь до пересечения с характеристикой разветвленного участка, то получим точку C, абсцисса которой выражает суммарный расход. Проведя через точку C вертикаль до пересечения с характеристикой сложного трубопровода, получим точку D, ордината которой выражает искомый напор Н.
Для решения второго вопроса нужно на оси ординат отложить известный напор H и через полученную точку Е провести горизонталь до пересечения с суммарной характеристикой сложного трубопровода. Абсцисса, полученная при этом точки D выражает суммарный расход .
Если через точку D провести вертикаль до пересечения с характеристикой разветвленного участка, то ордината полученная при этой точки С будет представлять потери напора в каждой из параллельных ветвей. Если через точку С провести горизонталь до пересечения с характеристикой ветвей, то получим точки и, абсциссы которых являются расходными в ветвях.
Если характеристики построены с учетом изменения коэффициента сопротивления трения и коэффициентов местных сопротивлений в зависимости от режимов течения жидкости в трубопроводах, то отпадает необходимость в последовательных приближениях, что является значительным преимуществом графического метода.
7. Пример решения задачи
Условие: найти, как распределится расход жидкости между тремя параллельными трубами диаметрами с приведенными длинами при значениях абсолютной шероховатости труб
Решение: Поскольку искомыми величинами в задаче являются расходы, то целесообразно решать задачу графическим методом.
Построим характеристику первой трубы согласно уравнению:
задавая ряд значений и вычисляя ; соответствующие величины определяются по заданной относительной шероховатости и значениям числа Рейнольдса: для ламинарного режима , для турбулентного течения формула Блазиуса. Число Рейнольдса в свою очередь может быть определено из формулы: , где м- коэффициент кинематической вязкости (стандартная величина для определенной жидкости).
Ряд значений выбираем от 0 до
Аналогично поступаем для второй и третьей трубы.
Складывая построенные кривые по правилу суммирования характеристик параллельных труб, получим характеристику разветвленного участка.
Далее на оси расходов находим точку, соответствующую суммарному расходу , и проводим через нее вертикаль до пересечения с характеристикой разветвленного участка. Через полученную точку B проводим горизонталь до пересечения с характеристиками первой, второй и третьей труб. Абсциссы полученных точек пересечения выражают искомые расходы.
Список использованной литературы
1. Альтшуль А.Д. «Гидравлика и аэродинамика»
2. Башта Т.М. «Гидравлика, гидромашины и гидроприводы»
3. Янсон Р.А. «Применение основных уравнений механики жидкости и газа при решении инженерно-технических задач»
4. Щеголев Н.Л. «Лекции по механике жидкости и газов».
