Расчетная работа 1: “Монетка”.
Вариант 12.
Возьмите 10 монет одинакового достоинства, хорошо перемешайте и выложите на стол. Сосчитайте количество гербов. Запишите результат.
Повторите пункт 1 сто раз. Результаты оформите в виде таблицы экспериментальных данных:
6 6 4 4 6 6 6 3 7 7
5 5 6 6 6 5 5 6 6 4
2 5 6 6 7 7 5 5 5 3
3 5 6 5 5 6 9 3 3 5
7 6 6 2 5 6 5 5 5 7
3 3 4 7 6 6 6 5 4 4
5 6 5 6 7 6 9 5 5 6
3 3 5 7 6 6 7 5 6 3
4 5 6 6 7 7 7 5 5 3
3 7 2 4 4 5 6 5 3 3
Сосчитайте, сколько раз выпало 0 гербов, 1 герб, 2 герба, 3 герба, … Результаты оформите в виде статистического ряда.
Постройте полигон частот, гистограмму.
Вычислите математическое ожидание случайной величины , ее дисперсию и среднее квадратичное отклонение .
На графике, показывающем полигон относительных частот экспериментальных значений величины , постройте кривую нормального распределения с вычисленными выше значениями математического ожидания и дисперсии.
Сравните экспериментальный и теоретический графики визуально.
Вычислите вероятности попадания случайной величины в интервалы , , и сравните с экспериментальными данными.
Вычислите критерий Пирсона и проверьте гипотезу о нормальном характере распределения, приняв доверительную вероятность .
Постройте доверительный интервал для математического ожидания величины .
Решение:
Выпишем элементы данной выборки в порядке их возрастания:
2 2 2 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 4 4 4
4 4 4 4 4 4 5 5 5 5
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
5 5 5 5 6 6 6 6 6 6
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
6 6 6 6 7 7 7 7 7 7
7 7 7 7 7 7 7 7 9 9
В результате получаем статистический ряд:
0 0 0
1 0 0
2 3 0,03
3 14 0,14
4 9 0,09
5 28 0,28
6 30 0,30
7 14 0,14
8 0 0
9 2 0,02
10 0 0
100
Относительные частоты вычисляем по формуле:
.
Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладываем значения , на оси ординат – соответствующие относительные частоты . Тогда полигон относительных частот имеет вид:
Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладываем значения , на оси ординат – соответствующие относительные частоты . Тогда гистограмма относительных частот имеет вид:
Составим расчетную таблицу:
0 0 0 0
1 0 0 0
2 3 6 30,72
3 14 42 67,76
4 9 36 12,96
5 28 140 1,12
6 30 180 19,2
7 14 98 45,36
8 0 0 0
9 2 18 28,88
10 0 0 0
100 520 206
Найдем выборочное среднее по формуле:
.
Найдем выборочную дисперсию по формуле:
.
Найдем выборочное среднее квадратичное отклонение по формуле:
.
Тогда для случайной величины математическое ожидание , дисперсия и среднее квадратичное отклонение .
Плотность теоретического нормального распределения имеет вид:
.
Вычислим значения теоретической плотности распределения:
0 -3,61 0,0006 0,0004
1 -2,92 0,0056 0,0039
2 -2,22 0,0339 0,0235
3 -1,53 0,1238 0,0859
4 -0,83 0,2827 0,1963
5 -0,14 0,3951 0,2744
6 0,56 0,3410 0,2368
7 1,25 0,1826 0,1268
8 1,94 0,0608 0,0422
9 2,64 0,0122 0,0085
10 3,33 0,0016 0,0011
Строим на одном чертеже полигон относительных частот (синяя линия) и график теоретической плотности распределения (красная линия):
Из визуального сравнения полигона относительных частот и графика теоретической плотности распределения не следует их качественное совпадение.
Вычислим вероятности попадания случайной величины в интервалы , , и сравним с экспериментальными данными:
,
,
.
Составим сравнительную таблицу:
Интервалы Экспериментальная относительная частота Теоретическая вероятность
0,67 0,6826
0,95 0,9544
1 0,9973
Выдвинем гипотезу о том, что распределение генеральной совокупности подчинено нормальному закону. Проверим эту гипотезу по критерию Пирсона при уровне значимости . Рассчитываем теоретические частоты по формуле:
,.
Составим расчетную таблицу:
0 0 -3,61 0,0006 0,04 0,04
1 0 -2,92 0,0056 0,39 0,39
2 3 -2,22 0,0339 2,35 0,179
3 14 -1,53 0,1238 8,59 3,407
4 9 -0,83 0,2827 19,63 5,756
5 28 -0,14 0,3951 27,44 0,011
6 30 0,56 0,3410 23,68 1,687
7 14 1,25 0,1826 12,68 0,137
8 0 1,94 0,0608 4,22 4,22
9 2 2,64 0,0122 0,85 1,556
10 0 3,33 0,0016 0,11 0,11
17,493
Наблюдаемое значение критерия Пирсона вычислим по формуле:
.
Из таблицы критических значений при уровне значимости и числе степеней свободы находим . Поскольку , то при данном уровне значимости гипотеза о нормальном распределении отвергается.
Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения с надежностью 0,95 определяется формулой:
,
где – исправленное среднее квадратичное отклонение, параметр определяется из соответствующей таблицы с учетом объема выборки и уровня значимости : . Тогда получаем:
,
.
