Разложить функцию fz в ряд Лорана в окрестности точки z0 и определить область сходимости этого ряда. fz=e1z, z0=0.

Разложить функцию fz в ряд Лорана в окрестности точки z0 и определить область сходимости этого ряда. fz=e1z, z0=0.
Решение.
Для любого комплексного t выполняется равенство:
et=1+t1!+t22!+t33!+…
Полагая здесь t=1z, получаем:
e1z=1+1z+12!∙z2+13!∙z3+14!∙z4+…=n=0∞1n!zn
Полученное разложение справедливо при любом z≠0.
Пусть дан ряд
n=0∞cnzn
Если cn≠0 и существует конечный предел
r=limn→∞cn+1cn
то этот ряд сходится в области z>r.
В нашем случае
cn=1n!; cn+1=1n+1!=1n!∙n+1
тогда
r=limn→∞1n!∙n+11n!=limn→∞1n+1=0
Следовательно, область сходимости ряда z>0, т.е. ряд сходится при любом z кроме z=0.
Ответ:
e1z=n=0∞1n!zn z≠0

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...