Решение.
Решение данного уравнения ищется в виде
, где
– общее решение однородного уравнения, – частное решение неоднородного уравнения.
Найдем общее решение однородного уравнения. Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид
Составим характеристическое уравнение, оно имеет вид
Корни уравнения равны:
Решение однородного уравнения может быть периодическим, если корни уравнения являются комплексно-сопряженными , тогда решение будет иметь вид
Периодическим будет это решение тогда, когда , т.е. = 0.
Получаем в нашем случае a = 0
Чтобы корни были комплексными, нужно, чтобы –4b <0 b>0, тогда и решение будет иметь вид
Найдем частное решение неоднородного уравнения. Оно ищется по виду правой части.
Т. к. a = 0, то исходное уравнение примет вид
Частное решение будем искать в виде . Найдем и подставим в уравнение.
, подставим
Получим систему:
Решение системы существует, если , тогда оно является периодическим.
Таким образом, при a = 0, b>0, у исходного уравнения существует периодическое решение
Рассмотрим случай, когда a = 0, b = 0. Тогда уравнение примет вид: .
Его решение можно найти непосредственным интегрированием:
Т.к. С1 и С2 – произвольные постоянные, то данное решение будет периодическим, если С1 = 0 и с 0.
Таким образом, при a = 0, b = 0, с 0 у исходного уравнения существует периодическое решение
Решение:
при a = 0, b>0, у исходного уравнения существует периодическое решение
при a = 0, b = 0, с 0 у исходного уравнения существует периодическое решение
