Решить краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка на указанном отрезке конечно-разностным методом.

Решить краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка на указанном отрезке конечно-разностным методом.
Краевая задача:
xy»-2x+1y’+x+1y=0
y’1=3e
y’1-2y(2)=0
Точное решение:
yx=exx2
Введем на отрезке [1,2] разностную сетку:
x0=1
x1=1,2
x2=1,4
x3=1,6
x4=1,8
x5=2
Производные заменим их конечно-разностными аппроксимациями:
для внутренних точек:
yk’=yi+1-yi-12h
yk»=yi+1-2yi+yi-1h2
для граничных точек:
y0’x0=y1-y0h
yn’xn=yn-yn-1h
y0»x0=-3y0+4y1-y22h
yn»xn=yn-2-4yn-1+3yn2h

Составим систему уравнений:
y1-y00,2=8.1548x1y2-2y1+y00,22-2×1+1y2-y02*0,2+x1+1y1=0x2y3-2y2+y10,22-2×2+1y3-y12*0,2+x2+1y2=0x3y4-2y3+y20,22-2×3+1y4-y22*0,2+x3+1y3=0x4y5-2y7+y30,22-2×4+1y5-y32*0,2+x4+1y4=0y5-y40,2-2y5=0
y1-y0=1,6310x1y2-2y1+y0-0,12×1+1y2-y0+0,04×1+1y1=0x2y3-2y2+y1-0,12×2+1y3-y1+0,04×2+1y2=0x3y4-2y3+y2-0,12×3+1y4-y2+0,04×3+1y3=0x4y5-2y7+y3-0,12×4+1y5-y3+0,04×4+1y4=0y5-y4-0,4y5=0
Подставим вместо x значения:
y1-y0=1.63101,2y2-2y1+y0-0,12*1,2+1y2-y0+0,041,2+1y1=01,4y3-2y2+y1-0,12*1,4+1y3-y1+0,041,4+1y2=01,6y4-2y3+y2-0,12*1,6+1y4-y2+0,041,6+1y3=01,8y5-2y7+y3-0,12*1,8+1y5-y3+0,041,8+1y4=0y5-y4-0,4y5=0
-y0+y1=1.63101,2y2-2,4y1+1,2y0-0,34y2+0,34y0+0,088y1=01,4y3-2,8y2+1,4y1-0,38y3+0,38y1+0,096y2=01,6y4-3,2y3+1,6y2-0,42y4+0,42y2+0,104y3=01,8y5-3,6y4+1,8y3-0,46y5+0,46y3+0,112y4=0y5-y4-0,4y5=0
-y0+y1=1.63101,54y0-2,312y1+0,86y2=01,78y1-2,704y2+1,02y3=02,02y2-3,096y3+1,18y4=02,26y3-3,488y4+1,34y5=0-y4+0,6y5=0

Вычислим прогоночные коэффициенты:
-1100001,54-2,3120,8600001,78-2,7041,0200002,02-3,0961,1800002,26-3,4881,340000-10,61.631000000
-β1γ10000α2-β2γ20000α3-β3γ30000α4-β4γ40000α5-β5γ50000α6-β6δ1δ2δ3δ4δ5δ6
Pi=γiβi-αiPi-1,
Qi=αiQi-1-δiβi-αiPi-1.
P1=γ1β1=1
P2=γ2β2-α2P1=1,11399
P3=γ3β3-α3P2=1,414509
P4=γ4β4-α4P3=4,943599
P5=γ5β5-α5P4=-0,17438
Q1=α1Q0-δ1β1-α1P0=-1,63097
Q2=α2Q1-δ2β2-α2P1=-3,25349
Q3=α3Q2-δ3β3-α3P2=-8,03109
Q4=α4Q3-δ4β4-α4P3=-67,9653
Q5=α5Q4-δ5β5-α5P4=19,9884
Обратный ход:
xn=αnQn-1-δnβn-αnPn-1,
xn-1=Pn-1xn+Qn-1,
x6=25,81226,
x5=15,48736,
x4=8,597997,
x3=4,130849,
x2=1,348235,
x1=-0,28273,
Откуда:
y0=-0,28273,
y1=1,348235,
y2=4,130849,
y3=8,597997,
y4=15,48736,
y5=25,81226,
Графики приближенного и точного решений:

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...