Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в круговом цилиндре.

Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в круговом цилиндре
∆u=0, 0≤r<R, 0≤φ≤2π, 0<z<l,
(1)
граничными условиями на боковой поверхности
ur=R=0, 0≤φ≤2π, 0≤z≤l,
(2)
на нижнем и верхнем основаниях
uzz=0=v0rR2 cos φ, uzz=l=0, 0≤r<R, 0≤φ≤2π.
(3)
Решение:
Запишем уравнение Лапласа (1) в цилиндрических координатах
1r∂∂rr∂u∂r+1r2∂2u∂φ2+∂2u∂z2=0.
(4)
Исходя из вида первого граничного условия (3) будем искать решение задачи в виде
ur, φ, z=vr, zcos φ.
(5)
Подставляем в уравнение (4) и граничные условия (2), (3).
1r∂∂rr∂v∂rcos φ-vr2cos φ+∂2v∂z2cos φ=0.
vzz=0⋅cos φ=v0rR2 cos φ
Краевая задача для функции v(r,z) примет вид
1r∂∂rr∂v∂r-vr2+∂2v∂z2=0
(6)
vr=R=0,
(7)
vzz=0=v0rR2, vzz=l=0.
(8)
Задачу (6) − (8) будем решать методом Фурье разделения переменных. Нетривиальное решение ищем в виде произведения
vr,z=w(r)Zz.
Подставляем vr,z в таком виде в (6) и учитываем, что функции w и Z зависят только от одного аргумента
Z(z)rddrrdwdr-wrZ(z)r2+w(r)d2Z(z)dz2=0.
Делим на w(r)Zz, получим
-1rw(r)ddrrdwdr+1r2=1Z(z)d2Z(z)dz2=λ2=const
Т.к. левая часть равенства зависит только от r, а правая только от z.
В результате переменные разделяются, получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения
Z»z=λ2Zz
(9)
-w»r-1rw’r+1r2wr=λ2w(r),
r2w»r+rw’r+(λ2r2-1)wr=0.
(10)
А граничное условие (7) приводит к условию
w(R)=0.
(11)
Уравнение (10) − это уравнение Бесселя первого порядка, его общее решение
wr=C1J1λr+C2N1λr,
где J1x, N1x – функции Бесселя, соответственно, 1-го и 2-го родов первого порядка.
Учитывая ограниченность решения, следует положить C2=0, т.к. N1x неограничена при x→0.
Из условия (11) получаем спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ
wR=J1λR=0.
Обозначим через μ=λR,
J1μ=0
(12)
Пусть μn, n=1,2,… − положительные корни этого уравнения. Собственные значения λn=μnR. Им соответствуют радиальные собственные функции
wnr=J1μnrR, n=1,2,3…
Уравнение (9) для функции Zz примет вид
Zn»z=μnR2Zn(z).
Общее решение этого уравнения можно записать в виде
Znz=AnchμnzR +BnshμnzR, n=1,2,3…
Решение для функции vr,z записывается в виде ряда
vr,z=n=1∞Znzwnr=n=1∞AnchμnzR+BnshμnzRJ1μnrR,
(13)
vzr,z=n=1∞μnRAnshμnzR+BnchμnzRJ1μnrR.
Коэффициенты An, Bn этого ряда найдем из условий (8)
vzr,0=n=1∞μnRBnJ1μnrR=v0rR2,
vzr,l=n=1∞μnRAnshμnlR+BnchμnlRJ1μnrR=0.
Учитывая полноту системы собственных функций J1μnrRn=1∞ из первого равенства следует, что коэффициенты μnRBn будут коэффициентами Фурье разложения функции v0rR2 в ряд по этой системе функций
μnRBn=1J1μnrR20Rv0rR2rJ1μnrRdr.
Из второго равенства следует
μnRAnshμnlR+BnchμnlR=0 ⇒ An=-chμnlRshμnlRBn.
Вычислим присутствующие здесь интегралы
0Rv0r2R2J1μnrRdr=v0Rμn30r0μnrR2J1μnrRdμnrR=v0Rμn3μnrR2J2μnrR0R=
=v0RμnJ2μn=учитывая, чтоJ2μn=2μnJ1μn=0-J0μn=-v0RμnJ0μn.
J1μnrR2=0RrJ12μnrRdr=R22J1’2μn+1-1μn2J12μn=0=R22J1’2μn.
Учитывая, что
J1’μn=-1μnJ1μn=0+J0μn=J0μn,
для квадратов норм функций получим
J1μnrR2=R22J02μn.
Коэффициенты ряда будут
Bn=Rμn2R2J02μn-v0RμnJ0μn=-2v0μn2J0μn,
An=chμnlRshμnlR2v0μn2J0μn.
Решение (13) для функции vr,z примет вид
vr,z=n=1∞2v0μn2J0μnchμnlRshμnlRchμnzR-shμnzRJ1μnrR==n=1∞2v0chμn(z-l)Rμn2J0μnshμnlRJ1μnrR.
Учитывая (5), решение исходной задачи будет
ur,φ,z=vr,zcosφ=n=1∞2v0chμn(z-l)Rμn2J0μnshμnlRJ1μnrRcosφ.
Ответ:
ur,φ,z=2v0n=1∞chμn(z-l)Rμn2J0μnshμnlRJ1μnrRcosφ.

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...