Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке

Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке
Utt=16Uxx; 0<x<2; 0<t<∞,
(1)
Ux,0=x(x-2), Utx,0=0.
(2)
U0,t=0, U2,t=0.
(3)
Решение:
Для решения начально-краевой задачи (1) − (3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать решение задачи в виде произведения
Ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)
Xx∙T»t=16X»(x)∙T(t)
Разделим равенство на 16Xx∙T(t)
T»(t)16T(t)=X»xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
T»t+a2λTt=0,
X»(x)+λXx=0.
Подставляя Ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (3), получим
X0⋅Tt=0, X2⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X2=0.
(4)
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X»(x)+λXx=0X0=0, X2=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий (4)
X0=C1=0 X2=C2 sin2λ=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sin2λ=0,
2λ=πk, k=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λk=πk22, k=1,2,…
Им соответствуют собственные функции
Xkx=sinπkx2, k=1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tk»t+16πk22Tkt=0,
Tk»t+2πk2Tkt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tkt=Akcos2πkt+Bksin2πkt.
Решение Ux,t исходной задачи записывается в виде ряда Фурье по собственным функциям
Ux,t=k=1∞TktXkx==k=1∞Akcos2πkt+Bksin2πktsinπkx2,
(5)
utx,t=k=1∞2πk-Aksin2πkt+Bkcos2πktsinπkx2.
Коэффициенты Ak, Bk этого ряда найдем из начальных условий (2)
U(x,0)=k=1∞Aksinπkx2=x(x-2),
Ut(x,0)=k=1∞2πkBksinπkx2=0.
Учитывая полноту системы собственных функций sinπkx2k=1∞ из второго начального условия следует, что
Bk=0 для всех k.
Из первого соотношения следует, что коэффициенты Ak представляют собой коэффициенты разложения функции x(x-2) в ряд Фурье по собственным функциям sinπkx2k=1∞
Ak=2202xx-2sinπkx2dx=02xx-2-2πkdcosπkx2=
=-2πkxx-2cosπkx202-02cosπkx22x-2dx=
=2πk022x-2 2πkdsinπkx2=4πk22x-2sinπkx202-02sinπkx22dx=
=4πk22sinπk+4πkcosπkx202=-16πk3cosπk-1=16πk3-1k-1.
Таким образом, решение исходной задачи Ux,t примет вид
Ux,t=k=1∞16πk3-1k-1cos2πktsinπkx2.
Учитывая, что
-1k-1=0, если k=2n-четное, -2, если k=2n+1-нечетное,
получим
Ux,t=-32π3n=0∞12n+13cos2π2n+1tsinπ2n+1×2.
Ответ:
Ux,t=-32π3n=0∞12n+13cos2π2n+1tsinπ2n+1×2.

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...