Решить смешанную задачу для неоднородного уравнения теплопроводности ut-9uxx=2sint, 0<x<6; t>0,

Решить смешанную задачу для неоднородного уравнения теплопроводности
ut-9uxx=2sint, 0<x<6; t>0,
(1)
u0,t=u6,t=0,
(2)
ux,0=xx-6.
(3)
Решение:
Сначала найдем собственные функции задачи с однородным уравнением теплопроводности
ut-9uxx=0, 0<x<6; t>0,
(4)
Применим к задаче (4), (2), (3) метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в уравнение (4)
Xx∙T’t-9X»x∙Tt=0
Разделим равенство на 9Xx∙T(t), получим
T'(t)9T(t)-X»xXx=0,
T'(t)9T(t)=X»xXx=-λ=const, λ>0
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
T»t+9λTt=0,
X»(x)+λXx=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (2), получим
X0⋅Tt=0, X6⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X6=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X»(x)+λXx=0X0=0, X6=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 X6=C2sin6λ=0
Получили следующее спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sin6λ=0
6λn=πn, n=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λn=πn62, n=1,2,…
Им соответствуют собственные функции
Xnx=sinπnx6, n=1,2,…
Решение ux,t исходной неоднородной задачи (1) − (3) будем искать в виде ряда по собственным функциям однородной задачи
ux,t=n=1∞TntXnx=n=1∞Tntsinπnx6.
(5)
Подставляем ux,t в таком виде в исходное неоднородное уравнение (1)
n=1∞Tn’tsinπnx6-9n=1∞Tnt-π2n236sinπnx6=2sint;
n=1∞Tn’t+πn22Tntsinπnx6=2sint;
(6)
И в начальное условие (3)
ux,0=n=1∞Tn0sinπnx6=xx-6.
(7)
Разложим неоднородность 1 в уравнении (6) и неоднородность xx-6 в начальном условии (7) в ряд Фурье по полной системе функций sinπnx6n=1∞ на отрезке [0;6]
1=n=1∞fnsinπnx6,
xx-6=n=1∞gnsinπnx6.
Коэффициенты Фурье вычисляются по формулам
fn=26061⋅sinπnx6dx=13-6πncosπnx606=-2πncosπn-1=
=-2πn-1n-1.

Читайте также:  Вычислить интегралы z-2i=3dzz-3iz-3+2i

gn=2606xx-6 sinπnx6dx=1306xx-6-6πn d cosπnx6=
=-2πnxx-6cosπnx606-06cosπnx62x-6dx=
=2πn012x-66πn dsinπnx6=12π2n22x-6sinπnx606-06sinπnx62dx=
=12π2n26sinπn-2⋅-6πncosπnx606=144π3n3cosπn-1=
=144π3n3-1n-1.
Подставляем полученные выражения в (6) и (7)
n=1∞Tn’t+πn22Tntsinπnx6=2sintn=1∞fnsinπnx6,
ux,0=n=1∞Tn0sinπnx6=n=1∞gnsinπnx6
В силу полноты системы собственных функций sinπnx6n=1∞ на отрезке [0;6] и сравнивая коэффициенты при одинаковых собственных функциях, получим следующие задачи Коши для функций Tnt
Tn’t+πn22Tnt=2fnsint,Tn0=gn.
Общее решение уравнения
Tnt=Cne-πn22t+Tnчастt.
Частное решение Tnчастt неоднородного уравнения будем искать исходя из вида неоднородности, т.е. в виде
Tnчастt=Asint+Bcost.
Подставим в уравнение
Acost-Bsint+πn22Asint+Bcost=2fnsint
Приравниваем коэффициенты при sint и cost
-B+πn22A=2fnA+πn22B=0 ⇒ A=8fnπ2n216+π4n4, B=-32fn16+π4n4.
Tnчастt=8fnπ2n216+π4n4sint-32fn16+π4n4cost
Tnt=Cne-πn22t+8fnπ2n216+π4n4sint-32fn16+π4n4cost.
Подставляем в начальные условия
Tn0=Cn-32fn16+π4n4=gn ⇒ Cn=gn+32fn16+π4n4.
Tnt=gn+32fn16+π4n4e-πn22t+8fnπ2n216+π4n4sint-32fn16+π4n4cost=
=gn+32fn16+π4n4e-πn22t+8fn16+π4n4π2n2sint-4cost.
Таким образом, искомое решение ux,t задачи (1) – (3) будет
ux,t=n=1∞gn+32fn16+π4n4e-πn22t+8fn16+π4n4π2n2sint-4costsinπnx6=
=n=1∞144π3n3-1n-1+32-2πn-1n-116+π4n4e-πn22t+8-2πn-1n-116+π4n4π2n2sint-4costsinπnx6=
=16n=1∞-1n-19π3n3-4πn16+π4n4e-πn22t-1πn16+π4n4π2n2sint-4costsinπnx6
Учитывая, что
-1n-1=0, если n=2k-четное -2, если n=2k+1-нечетное
решение можно записать в виде
ux,t=-32k=0∞9π32k+13-4π2k+116+π42k+14e-π(2k+1)22t-1π2k+116+π42k+14π22k+12sint-4costsinπ2k+1×6.

Ответ:
ux,t=-32πk=0∞12k+19π22k+12-416+π42k+14e-π(2k+1)22t-116+π42k+14π22k+12sint-4costsinπ2k+1×6.

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...