Решить уравнение и построить график решения 4 Решение

Решить уравнение и построить график решения.
4. , .
Решение.
Преобразуем заданное уравнение, разделив обе его части на
(полагаем что , если же получаем особые решения:
: , , то есть точка (0,0).
: , то есть точка (0,0)).
.
,
,
.
Уравнение вида называется однородным и решается с помощью подстановки .
Заданное уравнение принимает вид ,
,
,
– уравнение с разделяющимися переменными, разделим их, умножим обе части уравнения на .
– уравнение с разделенными переменными, проинтегрируем обе его части.
.
Применим способ внесения под дифференциал
И воспользуемся табличным интегралом .
.
Общее решение имеет вид или ,значит , а так как – произвольная постоянная, то .
Выполним обратную подстановку , получим ,
– общий интеграл заданного уравнения.
Найдем частное решение из начального условия .
, значит или , откуда .
Чтобы построить график линии преобразуем уравнение, выделив полный квадрат по переменной .
,
,
– каноническое уравнение окружности с центром в точке и радиусом .

Рис.1.

Решение:

общий интеграл уравнения , частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию или , рис.1.