Результаты регистрации распределения скоростей автомобиля ГАЗ-51 по частоте при движении по дороге с асфальтированным покрытием представлены в виде вариационного ряда в таблице:
28 32,5 34,5 36,4 37,1 38,5 39,6 40,8 42,0 44,0
28,5 32,9 34,5 36,4 37,1 38,8 39,6 40,8 42,5 44,5
29,0 33,2 35,0 36,4 37,1 38,8 40,0 40,8 42,5 44,5
30,0 33,2 35,0 36,4 37,5 38,8 40,0 41,2 42,8 45,2
31,0 33,5 35,3 36,8 37,5 38,8 40,0 41,2 42,8 45,6
31,5 33,5 35,6 36,8 37,5 39,2 40,0 41,5 43,1 45,6
31,5 34,0 35,6 36,8 37,9 39,2 40,3 41,5 43,1 46,0
32,0 34,0 36,0 36,8 37,9 39,2 40,3 41,5 43,5 46,5
32,0 34,0 36,0 36,8 38,5 39,2 40,3 42,0 43,5 47,0
32,5 34,5 36,0 37,1 38,5 39,6 40,3 42,0 44,0 48,0
Требуется:
Представить опытные данные в сгруппированном виде, разбив на k равноотстоящих частичных интервалов.
Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
Построить полигон и гистограмму относительных частот.
Вычислить методом произведений числовые характеристики выборки: выборочную среднюю, выборочную и исправленную дисперсии, выборочное среднее квадратическое отклонение, коэффициент асимметрии и эксцесса.
Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения и плотность вероятностей fx.
Проверить, согласуется ли принимаемая гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерии Пирсона и Колмогорова (при уровнях значимости 0,05; 0,01).
Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения, приняв доверительную вероятность γ=0,95 и 0,99.
Решение:
Представить опытные данные в сгруппированном виде, разбив на k равноотстоящих частичных интервалов.
n=100 – объем выборки.
xmin=28 – наименьшее значение выборки.
xmax=48 – наибольшее значение выборки.
По формуле Старджесса определим количество интервалов группировки:
k=1+3,3lgn=1+3,3lg100≈8
Длина интервала:
∆=xmax-xmink=48-288=2,5
Подсчитаем число значений признака, попавших в каждый интервал, то есть частоту ni. Также найдем относительные частоты по формуле wi=nin. Результаты представим в таблице.
Сгруппированный ряд:
Частичный интервал, ∆=2,5
Сумма частот значений признака в частичном интервале, ni
wi=nin
28 – 30,5 4 0,04
30,5 – 33 8 0,08
33 – 35,5 13 0,13
35,5 – 38 23 0,23
38 – 40,5 22 0,22
40,5 – 43 15 0,15
43 – 45,5 9 0,09
45,5 – 48 6 0,06
Σ 100 1
Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
Для нахождения эмпирической функции распределения перейдем от интервального ряда к дискретному, для этого найдем середины частичных интервалов:
Частичный интервал, ∆=2,5
Середины частичных интервалов Относительная частота, wi=nin
Накопленные относительные частоты
28 – 30,5 29,25 0,04 0,04
30,5 – 33 31,75 0,08 0,12
33 – 35,5 34,25 0,13 0,25
35,5 – 38 36,75 0,23 0,48
38 – 40,5 39,25 0,22 0,7
40,5 – 43 41,75 0,15 0,85
43 – 45,5 44,25 0,09 0,94
45,5 – 48 46,75 0,06 1
Эмпирическая функция распределения имеет вид:
F*x=0 при x≤280<p≤0,04 при 28<x≤30,50,04<p≤0,12 при 30,5<x≤330,12<p≤0,25 при 33<x≤35,50,25<p≤0,48 при 35,5<x≤380,48<p≤0,7 при 38<x≤40,50,7<p≤0,85 при 40,5<x≤430,85<p≤0,94 при 43<x≤45,50,94<p≤1 при 45,5<x≤481 при x>48
Построить полигон и гистограмму относительных частот.
Найдем середины частичных интервалов для полстроения полигона относительных частот. Результат представим в виде таблицы:
Частичный интервал, ∆=2,5
Середины частичных интервалов, xi
Относительная частота, wi=nin
28 – 30,5 29,25 0,04
30,5 – 33 31,75 0,08
33 – 35,5 34,25 0,13
35,5 – 38 36,75 0,23
38 – 40,5 39,25 0,22
40,5 – 43 41,75 0,15
43 – 45,5 44,25 0,09
45,5 – 48 46,75 0,06
Для построения гистограммы относительных частот найдем плотности относительной частоты по формуле wi∆. Расчетная таблица:
Частичный интервал ∆=2,5
Сумма частот значений признака в частичном интервале, ni
wi=nin
Плотность относительной частоты, wi∆
28 – 30,5 4 0,04 0,016
30,5 – 33 8 0,08 0,032
33 – 35,5 13 0,13 0,052
35,5 – 38 23 0,23 0,092
38 – 40,5 22 0,22 0,088
40,5 – 43 15 0,15 0,06
43 – 45,5 9 0,09 0,036
45,5 – 48 6 0,06 0,024
Вычислить методом произведений числовые характеристики выборки: выборочную среднюю, выборочную и исправленную дисперсии, выборочное среднее квадратическое отклонение, коэффициент асимметрии и эксцесса.
Приняв середины частичных интервалов в качестве новых вариант, получим вариационный ряд из равноотстоящих вариант:
Частичный интервал, ∆=2,5
Середины частичных интервалов, xi
Частота, ni
28 – 30,5 29,25 4
30,5 – 33 31,75 8
33 – 35,5 34,25 13
35,5 – 38 36,75 23
38 – 40,5 39,25 22
40,5 – 43 41,75 15
43 – 45,5 44,25 9
45,5 – 48 46,75 6
Перейдем к условным вариантам ui=xi-C∆, приняв в качестве «ложного нуля» C=36,75, шаг ∆=2,5.
Составим расчетную таблицу:
xi
ni
ui
niui
niui2
niui3
niui4
niui+12
niui+14
29,25 4 -3 -12 36 -108 324 16 64
31,75 8 -2 -16 32 -64 128 8 8
34,25 13 -1 -13 13 -13 13 0 0
36,75 23 0 0 0 0 0 23 23
39,25 22 1 22 22 22 22 88 352
41,75 15 2 30 60 120 240 135 1215
44,25 9 3 27 81 243 729 144 2304
46,75 6 4 24 96 384 1536 150 3750
Σ 100 – 62 340 584 2992 564 7716
Контроль правильности вычислений:
niui+12=niui2+2niui+n
564=340+2∙62+100
niui+14=niui4+4niui3+6niui2+4niui+n
7716=2992+4∙584+6∙340+4∙62+100
Условные эмпирические моменты:
M1=1nniui=62100=0,62
M2=1nniui2=340100=3,4
M3=1nniui3=584100=5,84
M4=1nniui4=2992100=29,92
Центральные моменты:
m3=∆3M3-3M1∙M2+2∙M13=2,53∙5,84-3∙0,62∙3,4+2∙0,623≈-0,1148
m4=∆4M4-4M1∙M3+6M2∙M12-3∙M14=2,54∙29,92-4∙0,62∙5,84+6∙3,4∙0,622-3∙0,624≈892,0027
Выборочная средняя:
xв=M1∙∆+C=0,62∙2,5+36,75=38,3
Выборочная дисперсия:
D*X=M2-M12∙∆2=3,4-0,622∙2,52≈18,8475
Выборочное среднее квадратическое отклонение:
σ*=D*X=18,8475≈4,3414
Исправленная дисперсия:
DX=nn-1D*X=10099∙18,8475≈19,0379
Исправленное среднее квадратическое отклонение:
σ=DX=19,0379≈4,3632
Коэффициент асимметрии:
As=m3σ*3=-0,11484,34143≈-0,0014
Коэффициент эксцесса:
Ek=m4σ*4-3=892,00274,34144-3≈-0,489
Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения и плотность вероятностей fx.
Математическое ожидание:
a=xв=38,3
Среднее квадратическое отклонение:
σ=σ=4,3632
Плотность нормального распределения:
fx=1σ2πe-x-a22σ2=14,36322πe-x-38,3238,075
Проверить, согласуется ли принимаемая гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерии Пирсона и Колмогорова (при уровнях значимости 0,05; 0,01).
Используем критерий Пирсона.
ni’ – теоретические частоты.
Составим расчетную таблицу:
xi
ni
xi-xв
ui=xi-xвσ
φui
ni’=n∙∆σ∙φui
ni-ni’
ni-ni’2
ni-ni’2ni’
29,25 4 -9,05 -2,07 0,0468 2,68 1,32 1,7424 0,6501
31,75 8 -6,55 -1,5 0,1295 7,42 0,58 0,3364 0,0453
34,25 13 -4,05 -0,93 0,2589 14,83 -1,83 3,3489 0,2258
36,75 23 -1,55 -0,36 0,3739 21,42 1,58 2,4964 0,1165
39,25 22 0,95 0,22 0,3894 22,31 -0,31 0,0961 0,0043
41,75 15 3,45 0,79 0,292 16,73 -1,73 2,9929 0,1789
44,25 9 5,95 1,36 0,1582 9,06 -0,06 0,0036 0,0004
46,75 6 8,45 1,94 0,0608 3,48 2,52 6,3504 1,8248
Σ 3,0461
Наблюдаемое значение критерия:
χнабл2=ni-ni’2ni’≈3,0461
При числе степеней свободы k=s-3=8-3=5 и уровню значимости 0,05 по таблице находим χкр2=11,1.
Так как χнабл2<χкр2 – нет основания отвергнуть гипотезу о соответствии наблюдений нормальному закону распределения признака на уровне значимости 0,05.
При числе степеней свободы k=s-3=8-3=5 и уровню значимости 0,01 по таблице находим χкр2=15,1.
Так как χнабл2<χкр2 – нет основания отвергнуть гипотезу о соответствии наблюдений нормальному закону распределения признака на уровне значимости 0,01.
Используем критерий Колмогорова.
F*x – эмпирическая функция распределения. Составим расчетную таблицу:
xi
F*x
∆σ∙φui
Fx
Fx-F*x
29,25 0,04 0,0268 0,0268 0,0132
31,75 0,12 0,0742 0,101 0,019
34,25 0,25 0,1483 0,2493 0,0007
36,75 0,48 0,2142 0,4635 0,0165
39,25 0,7 0,2231 0,6866 0,0134
41,75 0,85 0,1673 0,8539 0,0039
44,25 0,94 0,0906 0,9445 0,0045
46,75 1 0,0348 0,9793 0,0207
Наблюдаемое значение критерия:
λнабл=n∙maxFx-F*x=100∙0,0207=0,207
По таблице находим: λ0,05=1,358 ; λ0,01=1,627
Так как λнабл<λ0,05 – нет основания отвергнуть гипотезу о соответствии наблюдений нормальному закону распределения признака на уровне значимости 0,05.
Так как λнабл<λ0,01 – нет основания отвергнуть гипотезу о соответствии наблюдений нормальному закону распределения признака на уровне значимости 0,01.
Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения, приняв доверительную вероятность γ=0,95 и 0,99.
Так как генеральное среднее квадратическое отклонение неизвестно, то доверительный интервал для математического ожидания a имеет вид:
xв-tγσn<a<xв+tγσn
σ – исправленное среднее квадратическое отклонение.
Для γ=0,95 и для γ=0,99 из таблицы распределения Стьюдента по числу степеней свободы n-1=99 находим: t0,95≈1,99; t0,99≈2,64.
Интервальная оценка математического ожидания при γ=0,95:
38,3-1,99∙4,3632100<a<38,3+1,99∙4,3632100
37,4347<a<39,1683
Интервальная оценка математического ожидания при γ=0,99:
38,3-2,64∙4,3632100<a<38,3+2,64∙4,3632100
37,1481<a<39,4519
Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения имеет вид:
σ1-q<σ<σ1+q
По данным γ=0,95 и n=100 по таблице находим q=0,143.
По данным γ=0,99 и n=100 по таблице находим q=0,198.
Интервальная оценка среднего квадратического отклонения при γ=0,95:
4,3632∙1-0,143<σ<4,3632∙1+0,143
3,7393<σ<4,9871
Интервальная оценка среднего квадратического отклонения при γ=0,99:
4,3632∙1-0,198<σ<4,3632∙1+0,198
3,4993<σ<5,2271
