Система линейных алгебраических уравнений

Линейное программирование, Моделирование, Система линейных алгебраических уравнений

Системой линейных уравнений (СЛАУ) называют систему вида:

$[left{ begin{array}{l} {a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + ... + {a_{1n}}{x_n} = {b_1} {a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + ... + {a_{2n}}{x_n} = {b_2} .............................................. {a_{n1}}{x_1} + {a_{n2}}{x_2} + ... + {a_{nn}}{x_n} = {b_n} end{array} right.]$

В матричной форме:

$[A = left( {begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}} {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}} {...}&{....}&{....}&{....} {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}&{....}&{{a_{nn}}} end{array}} right)]$

$[Delta = left| A right| = left| {begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}} {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}} {...}&{....}&{....}&{....} {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}&{....}&{{a_{nn}}} end{array}} right|]$

$[X = left( {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} {{x_2}} {...} {{x_n}} end{array}} right)]$

$[B = left( {begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}} {{b_2}} {...} {{b_n}} end{array}} right)]$

А-матрица системы
Δ-определитель системы
X-столбец переменных
B-столбец свободных членов

Решением системы называется такая совокупность n чисел, при подстановке которых каждое уравнение обращается в верное равенство:

$[left( {x_1^0,x_2^0,x_3^0,...x_n^0} right)]$

Метод обратной матрицы

Если матрица А невырожденная Δ=|A|≠0, то существует A^-1. Умножим обе части системы A*X=B на матрицуA^-1, получим:

$[{A^{ - 1}}left( {A cdot X} right) = {A^{ - 1}}B]$

Так как

$[left( {{A^{ - 1}}A} right)X = EX = E]$

то решением системы методом обратной матрицы будет столбец

$[X = {A^{ - 1}}B]$

Задача 1. Решить систему методом обратной матрицы:

$[left{ begin{array}{l} 2{x_1} + 4{x_2} + 5{x_3} = 3 3{x_1} + 2{x_2} - {x_3} = 4 {x_1} - 3{x_2} - 2{x_3} = 7 end{array} right.]$

Решение Запишем систему в матричном виде:

$[left( {begin{array}{*{20}{c}} 2&4&5 3&2&{ - 1} 1&{ - 3}&{ - 2} end{array}} right) cdot left( {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} {{x_2}} {{x_3}} end{array}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}} 3 4 7 end{array}} right)]$

Найдем определитель матрицы:

[begin{array}{l} left| A right| = left| {begin{array}{*{20}{c}} 2&4&5 3&2&{ - 1} 1&{ - 3}&{ - 2} end{array}} right| = left( {begin{array}{*{20}{c}} 2&4&5&2&4 3&2&{ - 1}&3&2 1&{ - 3}&{ - 2}&1&{ - 3} end{array}} right) = = 2 cdot 2 cdot ( - 2) + 4 cdot ( - 1) cdot 1 + 5 cdot 3 cdot ( - 3) - 5 cdot 2 cdot 1 - 2 cdot ( - 1) cdot ( - 3) - 4 cdot 3 cdot ( - 2) = =- 49 ne 0 end{array}]

Следовательно, A^-1 существует.

[A' = left( {begin{array}{*{20}{c}} 2&3&1 4&2&{ - 3} 5&{ - 1}&{ - 2} end{array}} right)]

$[{A'_{11}} = left| {begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 3} { - 1}&{ - 2} end{array}} right| = - 7;;{A'_{12}} = - left| {begin{array}{*{20}{c}} 4&{ - 3} 5&{ - 2} end{array}} right| = - 7;;{A'_{13}} = left| {begin{array}{*{20}{c}} 4&2 5&{ - 1} end{array}} right| = - 14]$

$[{A'_{21}} = - left| {begin{array}{*{20}{c}} 3&1 { - 1}&{ - 2} end{array}} right| = 5;;{A'_{22}} = left| {begin{array}{*{20}{c}} 2&1 5&{ - 2} end{array}} right| = - 9;;{A'_{23}} = - left| {begin{array}{*{20}{c}} 2&3 5&{ - 1} end{array}} right| = 17]$

$[{A'_{31}} = left| {begin{array}{*{20}{c}} 3&1 2&{ - 3} end{array}} right| = - 11;;{A'_{32}} = - left| {begin{array}{*{20}{c}} 2&1 4&{ - 3} end{array}} right| = 10;;{A'_{33}} = left| {begin{array}{*{20}{c}} 2&3 4&2 end{array}} right| = - 8]$

Присоединённая матрица имеет вид:

[tilde A = left( {begin{array}{*{20}{c}} { - 7}&{ - 7}&{ - 14} 5&{ - 9}&{17} { - 11}&{10}&{ - 8} end{array}} right)]

Выписываем обратную матрицу по формуле:

$[{A^{ - 1}} = - frac{1}{{49}}left( {begin{array}{*{20}{c}} { - 7}&{ - 7}&{ - 14} 5&{ - 9}&{17} { - 11}&{10}&{ - 8} end{array}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}} {frac{1}{7}}&{frac{1}{7}}&{frac{2}{7}} { - frac{5}{{49}}}&{frac{9}{{49}}}&{ - frac{{17}}{{49}}} {frac{{11}}{{49}}}&{ - frac{{10}}{{49}}}&{frac{8}{{49}}} end{array}} right)]$

Полученная обратная матрица имеет вид:

$[{A^{ - 1}} = left( {begin{array}{*{20}{c}} {frac{1}{7}}&{frac{1}{7}}&{frac{2}{7}} { - frac{5}{{49}}}&{frac{9}{{49}}}&{ - frac{{17}}{{49}}} {frac{{11}}{{49}}}&{ - frac{{10}}{{49}}}&{frac{8}{{49}}} end{array}} right)]$

Тогда решением системы

$[X = {A^{ - 1}}B = left( {begin{array}{*{20}{c}} {frac{1}{7}}&{frac{1}{7}}&{frac{2}{7}} { - frac{5}{{49}}}&{frac{9}{{49}}}&{ - frac{{17}}{{49}}} {frac{{11}}{{49}}}&{ - frac{{10}}{{49}}}&{frac{8}{{49}}} end{array}} right) cdot left( {begin{array}{*{20}{c}} 3 4 7 end{array}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}} 3 { - 2} 1 end{array}} right)]$

т.е. решение системы (3; -2; 1) или X₁=3 X₂= -2 X₃=1

Система линейных алгебраических уравнений в MS Excel

В EXCEL задача получения решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) решается с помощью матричных функций, для чего исходную систему надо представить в виде матричного уравнения. Рассмотрим последовательность действий для получения решения СЛАУ на конкретном примере.

-12X₁+12X₂+23X₃+6X₄=120

-3X₁+0.3X₂-3X₃+X₄=-25

-67X₁-3X₂-51X₃-73X₄=536

-91X₁-6X₂+4X₃-13X₄=-316

Для того, чтобы система имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы, составленный из коэффициентов при переменных Х₁, Х₂, Х₃, Х₄, не был равен нулю. Рассчитаем определитель системы, пользуясь функцией МОПРЕД. Рассчитанное значение определителя системы равно =12 >0, следовательно, можно продолжать процесс поиска решения. Из линейной алгебры известна матричная запись системы уравнений и матричное представление решения.

Перепишем систему в виде АХ=В, где:

А — матрица коэффициентов при неизвестных

Х – вектор-столбец неизвестных

В – вектор-столбец свободных членов

[A = left[ {begin{array}{*{20}{c}} { - 12}&{12}&{23}&6 { - 3}&{0.3}&{ - 3}&1 { - 67}&{ - 3}&{ - 51}&{ - 73} { - 91}&{ - 6}&4&{ - 13} end{array}} right]]

$[X = left[ begin{array}{l} {X_1} {X_2} {X_3} {X_4} end{array} right]]$

[B = left[ begin{array}{l} 120 - 25 536 - 316 end{array} right]]

Матричное решение уравнения выглядит так:

Х=А^-1В, где А^-1 – матрица, обратная к исходной.

Вычислить определитель и выяснить, имеет ли система единственное решение.
Вычислить матрицу, обратную к исходной.
Найти произведение обратной матрицы и вектор-столбца свободных членов.

Система линейных алгебраических уравнений

Метод обратной матрицы

Система линейных алгебраических уравнений в MS Excel

Готовые работы на продажу

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Решение системы линейных алгебраических уравнений

yuliya30

Компания

Категории

Поддержка

Соцсети