Система линейных алгебраических уравнений

Системой линейных уравнений (СЛАУ) называют систему вида:

    [left{ begin{array}{l} {a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + ... + {a_{1n}}{x_n} = {b_1}\ {a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + ... + {a_{2n}}{x_n} = {b_2}\ ..............................................\ {a_{n1}}{x_1} + {a_{n2}}{x_2} + ... + {a_{nn}}{x_n} = {b_n} end{array} right.]

В матричной форме: 

    [A = left( {begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}}\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}}\ {...}&{....}&{....}&{....}\ {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}&{....}&{{a_{nn}}} end{array}} right)]

    [Delta = left| A right| = left| {begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}}\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}}\ {...}&{....}&{....}&{....}\ {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}&{....}&{{a_{nn}}} end{array}} right|]

    [X = left( {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\ {{x_2}}\ {...}\ {{x_n}} end{array}} right)]

    [B = left( {begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}\ {{b_2}}\ {...}\ {{b_n}} end{array}} right)]

  • А-матрица системы
  • Δ-определитель системы
  • X-столбец переменных
  • B-столбец свободных членов

Решением системы называется такая совокупность n чисел, при подстановке которых каждое уравнение обращается в верное равенство:

    [left( {x_1^0,x_2^0,x_3^0,...x_n^0} right)]

Метод обратной матрицы

Если матрица А невырожденная Δ=|A|≠0, то существует A-1. Умножим обе части системы A*X=B на матрицуA-1, получим:


    [{A^{ - 1}}left( {A cdot X} right) = {A^{ - 1}}B]

Так как 


    [left( {{A^{ - 1}}A} right)X = EX = E]

то решением системы методом обратной матрицы будет столбец  


    [X = {A^{ - 1}}B]

Задача 1. Решить систему методом обратной матрицы:

    [left{ begin{array}{l} 2{x_1} + 4{x_2} + 5{x_3} = 3\ 3{x_1} + 2{x_2} - {x_3} = 4\ {x_1} - 3{x_2} - 2{x_3} = 7 end{array} right.]

Решение Запишем систему в матричном виде:

    [left( {begin{array}{*{20}{c}} 2&4&5\ 3&2&{ - 1}\ 1&{ - 3}&{ - 2} end{array}} right) cdot left( {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\ {{x_2}}\ {{x_3}} end{array}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}} 3\ 4\ 7 end{array}} right)]

Найдем определитель матрицы:

    [begin{array}{l} left| A right| = left| {begin{array}{*{20}{c}} 2&4&5\ 3&2&{ - 1}\ 1&{ - 3}&{ - 2} end{array}} right| = left( {begin{array}{*{20}{c}} 2&4&5&2&4\ 3&2&{ - 1}&3&2\ 1&{ - 3}&{ - 2}&1&{ - 3} end{array}} right) = \ \ = 2 cdot 2 cdot ( - 2) + 4 cdot ( - 1) cdot 1 + 5 cdot 3 cdot ( - 3) - 5 cdot 2 cdot 1 - 2 cdot ( - 1) cdot ( - 3) - 4 cdot 3 cdot ( - 2) =\ \ =- 49 ne 0 end{array}]

Следовательно, A-1 существует.

    [A' = left( {begin{array}{*{20}{c}} 2&3&1\ 4&2&{ - 3}\ 5&{ - 1}&{ - 2} end{array}} right)]

    [{A'_{11}} = left| {begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 3}\ { - 1}&{ - 2} end{array}} right| = - 7;;{A'_{12}} = - left| {begin{array}{*{20}{c}} 4&{ - 3}\ 5&{ - 2} end{array}} right| = - 7;;{A'_{13}} = left| {begin{array}{*{20}{c}} 4&2\ 5&{ - 1} end{array}} right| = - 14]

    [{A'_{21}} = - left| {begin{array}{*{20}{c}} 3&1\ { - 1}&{ - 2} end{array}} right| = 5;;{A'_{22}} = left| {begin{array}{*{20}{c}} 2&1\ 5&{ - 2} end{array}} right| = - 9;;{A'_{23}} = - left| {begin{array}{*{20}{c}} 2&3\ 5&{ - 1} end{array}} right| = 17]

    [{A'_{31}} = left| {begin{array}{*{20}{c}} 3&1\ 2&{ - 3} end{array}} right| = - 11;;{A'_{32}} = - left| {begin{array}{*{20}{c}} 2&1\ 4&{ - 3} end{array}} right| = 10;;{A'_{33}} = left| {begin{array}{*{20}{c}} 2&3\ 4&2 end{array}} right| = - 8]

Присоединённая матрица имеет вид:

    [tilde A = left( {begin{array}{*{20}{c}} { - 7}&{ - 7}&{ - 14}\ 5&{ - 9}&{17}\ { - 11}&{10}&{ - 8} end{array}} right)]

Выписываем обратную матрицу по формуле:

    [{A^{ - 1}} = - frac{1}{{49}}left( {begin{array}{*{20}{c}} { - 7}&{ - 7}&{ - 14}\ 5&{ - 9}&{17}\ { - 11}&{10}&{ - 8} end{array}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}} {frac{1}{7}}&{frac{1}{7}}&{frac{2}{7}}\ { - frac{5}{{49}}}&{frac{9}{{49}}}&{ - frac{{17}}{{49}}}\ {frac{{11}}{{49}}}&{ - frac{{10}}{{49}}}&{frac{8}{{49}}} end{array}} right)]

Полученная обратная матрица имеет вид:

    [{A^{ - 1}} = left( {begin{array}{*{20}{c}} {frac{1}{7}}&{frac{1}{7}}&{frac{2}{7}}\ { - frac{5}{{49}}}&{frac{9}{{49}}}&{ - frac{{17}}{{49}}}\ {frac{{11}}{{49}}}&{ - frac{{10}}{{49}}}&{frac{8}{{49}}} end{array}} right)]

Тогда решением системы 

    [X = {A^{ - 1}}B = left( {begin{array}{*{20}{c}} {frac{1}{7}}&{frac{1}{7}}&{frac{2}{7}}\ { - frac{5}{{49}}}&{frac{9}{{49}}}&{ - frac{{17}}{{49}}}\ {frac{{11}}{{49}}}&{ - frac{{10}}{{49}}}&{frac{8}{{49}}} end{array}} right) cdot left( {begin{array}{*{20}{c}} 3\ 4\ 7 end{array}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}} 3\ { - 2}\ 1 end{array}} right)]

т.е. решение системы (3; -2; 1) или X1=3 X2= -2 X3=1  

Система линейных алгебраических уравнений в MS Excel

В EXCEL задача получения решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) решается с помощью матричных функций, для чего исходную систему надо представить в виде матричного уравнения. Рассмотрим последовательность действий для получения решения СЛАУ на конкретном примере.

-12X1+12X2+23X3+6X4=120

-3X1+0.3X2-3X3+X4=-25

-67X1-3X2-51X3-73X4=536           

-91X1-6X2+4X3-13X4=-316

Для того, чтобы система  имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы, составленный из коэффициентов при переменных Х1, Х2, Х3, Х4, не был равен нулю. Рассчитаем определитель системы,  пользуясь функцией МОПРЕД. Рассчитанное значение определителя системы равно =12 >0, следовательно, можно продолжать процесс поиска решения. Из линейной алгебры известна матричная запись системы уравнений и матричное представление решения.

Перепишем систему  в виде АХ=В, где:

А — матрица коэффициентов при неизвестных

Х — вектор-столбец неизвестных

В — вектор-столбец свободных членов

    [A = left[ {begin{array}{*{20}{c}} { - 12}&{12}&{23}&6\ { - 3}&{0.3}&{ - 3}&1\ { - 67}&{ - 3}&{ - 51}&{ - 73}\ { - 91}&{ - 6}&4&{ - 13} end{array}} right]]

    [X = left[ begin{array}{l} {X_1}\ {X_2}\ {X_3}\ {X_4} end{array} right]]

    [B = left[ begin{array}{l} 120\ - 25\ 536\ - 316 end{array} right]]

Матричное решение уравнения выглядит так:

Х=А-1В, где А-1 – матрица, обратная к исходной.

  1. Вычислить определитель и выяснить, имеет ли система единственное решение.
  2. Вычислить матрицу, обратную к исходной.
  3. Найти произведение обратной матрицы и вектор-столбца свободных членов.
1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...