Система состоит из двух автоматов предназначенных для продажи прохладительных напитков

Система состоит из двух автоматов, предназначенных для продажи прохладительных напитков, каждый из которых в любой момент времени может выйти из строя, после чего начинается ремонт автомата, продолжающийся заранее неизвестное случайное время. Система может находиться в следующих состояниях:
e1 − оба автомата работают;
e2 − первый автомат ремонтируется, второй работает;
e3 − второй автомат ремонтируется, первый работает;
e4 − оба автомата ремонтируются.
Граф системы приведен на следующем рисунке.

Интенсивности переходов λij из состояния ei в состояние ej приведены ниже:
λ12 λ13 λ21 λ24 λ31 λ34 λ42 λ43
1 2 1 2 3 1 3 2
Определить:
Распределение вероятностей состояний для любого момента времени на интервале с шагом h = 0,5;
Вектор финальных вероятностей системы;
Средний чистый доход от эксплуатации в стационарном режиме системы, если известно, что в единицу времени исправная работа первого и второго автоматов приносят доход соответственно в a1 = 10 и a2 = 6 ден. единиц, а их ремонт требует затрат соответственно b1 = 4 и b2 = 2 ден. единиц.

Решение:

1. Определим число шагов:

Пусть pi(t) – вероятность того, что процесс (система) находится в состоянии ei в момент времени t, i = 1, 2, 3, 4.
Составим систему уравнений Колмогорова по следующей формуле:

В данном случае система примет вид:

Любое из этих уравнений может быть отброшено, а соответствующая ему вероятность pi (i = 1, 2, 3, 4) выражена через остальные с помощью нормировочного условия: p1 + p2 + p3 + p4 = 1.
Так как рассматриваемый процесс считается стационарным, то производные принимаются равными нулю. Полученная система алгебраических уравнений примет вид:

Исключая первое из уравнений системы и подставляя соответствующие плотности перехода, получим систему:

После упрощения, получаем:

Решим систему методом Гаусса. Для этого запишем расширенную матрицу системы и путем преобразований приведем ее к треугольному виду:

Получаем эквивалентную систему:

Выполняя обратный шаг метода Гаусса, получаем:

Получили распределение .

Распределение вероятностей состояний для любого момента времени на интервале с шагом h = 0,5;
2. Вектор финальных вероятностей системы;
3. Средний чистый доход от эксплуатации в стационарном режиме системы, если известно, что в единицу времени исправная работа первого и второго автоматов приносят доход соответственно в a1 = 10 и a2 = 6 ден. единиц, а их ремонт требует затрат соответственно b1 = 4 и b2 = 2 ден. единиц.
Ответ: