Случайная величина X задана функцией распределения F(x):
Fx=0;x≤αx2-α2β2-α2;α<x≤β1;x>β
Требуется:
а) найти плотность распределения вероятностей;
б) построить графики интегральной и дифференциальной функций;
в) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X;
г) определить вероятность того, что X примет значение, заключенное в интервале (a;b).
Необходимые параметры вычисляем по формулам:
α=A+2;β=α+B+C+1;a=A+B2;b=a+C
Решение:
Вычисляем параметры:
α=A+2=5+2=7
β=α+B+C+1=7+2+8+1=18
a=A+B2=5+22=6
b=a+C=6+8=14
Имеем следующую функцию распределения:
Fx=0;x≤7×2-49275;7<x≤181;x>18
Графически:
Плотность распределения связана с функцией распределения соотношением:
fx=F'(x)
Поэтому имеем:
fx=0;x≤72×275;7<x≤180;x>18
Графически:
Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины вычисляются по формулам:
Mx=-∞∞xf(x)dx;Dx=-∞∞x2f(x)dx-M(x)2
Имеем:
Mx=718x*2x275dx=2×3725718=2825183-73=99875≈13,307
Dx=718×2*2x275dx-998752=x4550718-998752≈9,433
Вероятность принять значение из интервала:
Pa<x<b=abf(x)dx=Fb-F(a)
Поэтому:
P6<x<14=F14-F6=142-49275-0=147275≈0,535
