Создать математическую модель.
Для изготовления различных изделий А и Б используется 3 вида сырья. На производство единицы изделия А требуется затратить сырья: первого – 15 кг, второго – 11 кг, третьего – 9 кг. На производство единицы изделия типа Б требуется затратить сырья: первого вида 4 кг, второго – 5кг, третьего – 10 кг.
Производство обеспечено сырьем первого вида в количестве 1095 кг, второго – 865 кг, третьего – 1080 кг.
Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет 3 у.е., Б – 2 у.е.
Составить план производства изделий А и Б, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.
Решение:
Для удобства составления математической модели представим условие задачи в виде таблицы:
Вид
сырья
Нормы расхода сырья (кг) на одно изделие
Общее количество сырья (кг)
А Б
I
II
III 15
11
9 4
5
10 1095
865
1080
Прибыль от
реализации
ед. готового изделия (у.е.) 3 2
Данная задача – задача планирования производства.
Переменные.Так как нужно определить оптимальный план производства: сколько единиц изделий типа А и Б следует изготовить, переменными в модели являются:
– объем производства изделия типа А;
– объем производства изделия типа Б.
Целевая функция. Конечную цель задачи – получение максимальной прибыли при реализации продукции – выразим как функцию 2-х переменных .
Суммарная прибыль:
Ограничения. При решении рассматриваемой задачи должны быть учтены ограничения на имеющееся количество сырья:
(сырье I типа);
(сырье II типа);
(сырье I типа).
Добавим ограничения на не отрицательность значений объемов производства:
.
Математическая модель формулируется следующим образом.
Определить объемы производства изделий типа А и Б, соответственно, при которых достигается максимум целевой функции:
при ограничениях
Так как в данной задаче две переменные , её удобно решать графически.
Графическим методом найдем план выпуска изделий по видам с учётом имеющихся ресурсов, который обеспечивал бы предприятию максимальный доход.
Строим прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств.
x1
D
О
A
B
Е
x2
(3)
(4)
(5)
20
100
78,6
273,75
73
108
120
173
80
180
100
20
280
30
Находим полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.
Полуплоскости будут ниже построенных кривых, т.к. знаки неравенств , и ограничены первой четвертью.
Определяем область допустимых решений – ОДР (многоугольник решений): многоугольник решений ОАВЕD выделен зеленым цветом.
Строим вектор С =(С1;С2) = (30;20) (C1=30 и C2=20 – коэффициенты, пропорциональные коэффициентам (3;2) при неизвестных в целевой функции Z).(умножаем на 10 для удобства построения)
Строим линию уровня (красный пунктир на рисунке) – как перпендикуляр к вектору С, проходящий через ОДР.
Передвигаем данную линию вверх до тех пор, пока она имеет общие точки с допустимой областью. Такой точкой (точкой оптимума) будет вершина В многоугольника ОАВЕD.
Определим координаты этой вершины, как точки пересечения прямых (4) и (5):
Координаты этой вершины: х1=50 и х2=63 являются оптимальным решением задачи, при этом у.е.
Вывод: для получения максимальной прибыли 276 у.е., необходимо выпускать 50 единиц изделия типа А и 63 единицы изделия типа Б.
