Контрольная работа
Вариант №4
Спектральный (гармонический) анализ сигналов
Содержание
1. Спектральный анализ периодических сигналов
2. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов
3. Спектры некоторых периодических сигналов
4. Спектры непериодических сигналов
Литература
спектральный гармонический сигнал колебание
Гармонический анализ – это раздел математики, который изучает возможности представления функций в виде тригонометрических рядов и интегралов. Основным понятием в гармоническом анализе является гармоническое колебание, которое математически можно записать следующим образом:
где Um, f0, 0, и 0 – соответственно амплитуда, частота, угловая частота и начальная фаза колебания.
В гармоническом анализе вводится понятие n-й гармоники периодического колебания частоты щ0, под которой понимают опять же гармоническое колебание с частотой, в п раз превышающей частоту основного гармонического колебания.
Следующим важным понятием является спектр сигнала. Под спектром сигнала понимают совокупность его гармонических составляющих. Введение понятия спектра сигнала обусловило использование в технических приложениях название спектрального анализа для гармонического анализа сигналов.
1. Спектральный анализ периодических сигналов
Как известно, любой сигнал S(t), описываемый периодической функцией времени, удовлетворяющей условиям Дирихле (модели реальных сигналов им удовлетворяют), можно представить в виде суммы гармонических колебаний, называемой рядом Фурье:
где – среднее значение сигнала за период или постоянная составляющая сигнала;
– коэффициенты ряда Фурье;
– основная частота (частота первой гармоники); n=1,2,3,…
Совокупность значений An и n (или при разложении по синусоидальным функциям n) называется спектром периодической функции. Амплитуды гармоник An характеризуют амплитудный спектр, а начальные фазы n (или ‘n) – фазовый спектр.
Таким образом, спектр периодического сигнала представляется в виде постоянной составляющей и бесконечного числа гармонических колебаний (синусоидальных или косинусоидальных) с соответствующими амплитудами и начальными фазами. Частоты всех гармоник кратны основной частоте. Это означает, что если периодический сигнал следует с частотой, например, 1 кГц, то в его спектре могут быть только частоты 0кГц, 1 кГц, 2 кГц и т.д. В спектре такого периодического сигнала не могут присутствовать, например, частоты 1,5 кГц или 1,2 кГц.
На рис. 1. приведены амплитудный и фазовый спектры некоторого периодического сигнала. Каждая гармоническая составляющая изображена вертикальными отрезки, длины которых (в некотором масштабе) равны ее амплитуде и фазе. Как видно, спектр периодического сигнала является дискретным или, как говорят, линейчатым.
С целью упрощения расчетов часто используют вместо тригонометрической формы записи ряда Фурье комплексную форму его записи, коэффициенты которой объединяют коэффициенты An и n:
где
Совокупность комплексных амплитуд n называют комплексным спектром периодического сигнала.
Расчет спектров сигналов в комплексной области значительно проще, поскольку нет необходимости рассматривать отдельно коэффициенты и тригонометрической формы записи ряд Фурье.
2. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов
Прежде чем рассмотреть спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, рассмотрим параметры этих импульсов.
Параметрами одиночного импульса являются амплитуда, длительность импульса, длительность фронта, длительность спада, спад (скол) плоской вершины.
Амплитуда импульса Um измеряется в вольтах.
Длительность импульса измеряется по основанию, на уровнях 0,1Um или 0,5Um. В последнем случае длительность импульса называется активной. Измеряется длительность импульса в единицах времени.
Длительность фронта tф и спада tс измеряется либо на уровне 0 – Um, либо на уровне (0,1-0,9)Um. В последнем случае длительность фронта и спада называют активными.
Скол плоской вершины характеризуется коэффициентом скола ? = ?u/Um,
где ?u – значение скола; Um – амплитуда импульса.
Параметрами серии импульсов являются период повторения T, частота следования f, скважность Q, коэффициент заполнения , средние значения напряжения Uср и среднее значение мощности Pср.
Период повторения T = tи +tп, где T – период, tи – длительность импульса,
tп – длительность паузы. Измеряются T, tи, и tп в единицах времени.
Частота следования f = 1/T измеряется в герцах и т.д.
Скважность Q = T/tи – величина безразмерная.
Коэффициент заполнения = tи/T – величина безразмерная.
Среднее значение напряжения
Перейдем к рассмотрению амплитудного и фазового спектров сигнала в виде периодической последовательности прямоугольных импульсов длительностью и амплитудой Um, следующих с периодом T (рис. 2).
Рассмотрим случай, когда середина импульса является началом отсчета времени. Тогда на периоде сигнал описывается выражением
Комплексные амплитуды гармонических составляющих.
Функция является знакопеременной и меняет свой знак на обратный при изменении аргумента n1 на величину ?щ = 2р/ф, что соответствует приращению фазы на .
Тогда
где k – порядковый номер интервала на шкале частот, отсчитываемый с нулевой частоты.
Таким образом, амплитуды гармоник, включая постоянную составляющую, определяются выражением:
а фазы – выражением =1, 2,3,…
Функция характеризует изменение амплитудного спектра сигнала в зависимости от частоты. Она обращается в нуль, при значениях её аргумента, кратных . Отсюда следует, что гармоники с номером n = , где
= 1,2,3,…будут иметь нулевые амплитуды, т.е. отсутствовать в спектре.
Как известно, отношение называется скважностью последовательности импульсов. Таким образом, в спектре рассматриваемой последовательности будут отсутствовать гармоники, номера которой кратны скважности.
Если начало отсчета времени связать с началом импульса, то амплитудный спектр останется без изменений, а фазы гармоник в соответствии со свойством преобразования Фурье получат дополнительный фазовый сдвиг nщ1ф/2. В результате
Выражения для тригонометрической формы записи ряда Фурье при отсчете времени от середины и начала импульса соответственно имеют вид:
На рис. 3. приведены амплитудные и фазовые спектры рассматриваемой последовательности прямоугольных импульсов при скважности, равной двум.
Фазовые спектры показаны соответственно при отсчете времени от середины и начала импульса. Пунктирные линии на амплитудных спектрах характеризуют поведение модуля спектральной плотности одиночного импульса.
Выражение для значений амплитуд и фаз гармоник легко получить в виде, удобном для расчетов. Так при отсчете времени от середины импульса для скважности, равной двум, имеем
, n = 1,3,5,7, …,
3. Спектры некоторых периодических сигналов
В таблице 1 приведены амплитудные и фазовые спектры, а также тригонометрические формы записи рядов Фурье некоторых наиболее часто встречаемых в практике периодических сигналов.
Сигналы №1 и №2 представляют собой последовательности прямоугольных импульсов со скважностью 2 и нулевой постоянной составляющей и отличаются только началом отсчета времени. Обратите внимание на то, что амплитудные спектры этих сигналов совпадают, а фазовые отличаются.
Сигналы №3 и №4 – последовательности прямоугольных импульсов со
скважностью соответственно 3 и 3/2 и нулевой постоянной составляющей. Амплитудные спектры этих сигналов одинаковы. Обратите внимание на то, что для сигнала №3 в каждом из интервалов Дщ = 2р/ф содержатся две гармоники, а для сигнала №4 в каждом из интервалов Дщ1 = 2р/2ф – только одна гармоника. Вывод о совпадении амплитудных спектров этих сигналов можно сделать также на основании того, что при смещении сигнала №3 на T/2 он является инверсным (т.е. имеющим обратный знак) по отношению к сигналу 4.
Сигнал №5 – последовательность симметричных импульсов треугольной формы с нулевой постоянной составляющей. При выборе начала отсчета времени, как показано на рисунке в таблице 3.1, все гармоники имеют нулевые начальные фазы.
Сигнал №6 – последовательность так называемых пилообразных импульсов с нулевой постоянной составляющей.
Сигналы №7 и №8 – последовательности импульсов, которые с хорошей точностью аппроксимируют соответственно сигналы, получающиеся при двухполупериодном и однополупериодном выпрямлении синусоидальных сигналов.
Пунктирными линиями на амплитудных спектрах сигналов №1 – №8 изображены спектральные плотности, характеризующие поведение модуля спектральной плотности одиночных импульсов, образующих последовательности.
Сигнал №9 представляет собой колебание частотой щ0, промодулированное по амплитуде колебанием частотой Щ. Такой сигнал называют амплитудно-модулированным колебанием. Коэффициент m носит название коэффициента амплитудной модуляции:
m = ДU/Um,
где ДU – амплитуда изменения огибающей амплитудно-модулированного колебания.
4. Спектры непериодических сигналов
Пусть непериодический сигнал описывается функцией S(t), заданной на конечном интервале времени t1 < t < t2, которая удовлетворяет условиям Дирихле и абсолютно интегрируема, т.е.
.
Последнее физически означает, что сигнал имеет конечную энергию.
Предположим, что сигнал S(t) превращен путем повторения его с произвольным периодом T > t2-t1 в периодический сигнал S1(t). Для этого сигнала применимо разложение в ряд Фурье:
Где
Коэффициенты An в этом случае будут тем меньше, чем больше интервал T, выбранный в качестве периода. Устремляя T к бесконечности, в пределе получаем бесконечно малые амплитуды гармонических составляющих. Количество входящих в ряд Фурье гармонических составляющих при этом будет бесконечно большим, так как при T, стремящемся к бесконечности, основная частота сигнала щ = 2р/Т стремится к нулю. Другими словами, расстояние между гармониками, равное основной частоте, становится бесконечно малым, а спектр – сплошным.
В результате при T сигнал S1(t) переходит в сигнал S(t), частота 1 уменьшается до d, a n1 превращается в текущую частоту . Заменяя суммирование интегрированием, получим
Внутренний интеграл, являющийся функцией частоты, называется комплексной спектральной плотностью или спектральной характеристикой () сигнала S(t):
В общем случае, когда пределы t1 и t2 не уточнены
Таким образом, временное и частотное представления непериодических сигналов связаны между собой парой преобразований Фурье.
Комплексная спектральная плотность может быть представлена в следующих видах:
() = S()e-j()=A() + jB(),
где A() = B() =
S() =
() = arctg [B()/A()].
Функцию S() называют спектральной плотностью амплитуд непериодического сигнала, а функцию () – спектральной плотностью фаз.
В отличие от спектра периодического сигнала, спектр непериодического сигнала является сплошным (непрерывным). Размерность S() – амплитуда/частота, () – фаза/частота. На каждой конкретной частоте амплитуда соответствующей составляющей равна нулю. Поэтому можно говорить только об амплитудных гармонических составляющих, частоты которых заключены в малом, но конечном интервале частот , + d.
Подчеркнем, что связь между временным и частотным представлением сигнала, даваемая преобразованиями Фурье, существует только для спектральной плотности.
Литература
Касаткин А.С. Электротехника : учеб. для вузов / А.С. Касаткин, М.В. Немцов. – 11-е изд., стер. ; Гриф МО. – М. : Академия, 2007. – 539 с.
Касаткин А.С. Электротехника : учеб. для вузов / А.С. Касаткин, М.В. Немцов. – 9-е изд., стер. ; Гриф МО. – М. : Academia, 2005. – 639 с.
Немцов М.В. Электротехника : учеб. пособие для сред. учеб. заведений / М.В. Немцов, И.И. Светлакова. – Гриф МО. – Ростов н/Д : Феникс, 2004. – 572 с.
Москаленко В.В. «Автоматизированный электропривод». Учебник для вузов. М.: Энергоатомиздат, 1986.
«Электротехника», под ред. В.С. Пантюшина, М.: Высшая школа, 1976.
«Общая электротехника» под ред. А.Т. Блажкина, Л.: Энергия, 1979.
