Строка Вариант 2
Отскок Hi Прочн., МПа
Отскок Hi Прочн., МПа
1 35,5 41,8 12 37,9 55,3
2 36,4 48,0 13 34,9 50,0
3 35,8 49,3 14 41,3 52,9
4 35,6 47,5 15 38,8 52,0
5 37,0 49,2 16
6 33,4 44,2 17
7 36,6 50,7 18
8 37,5 50,0 19
9 34,3 48,6 20
10 39,4 52,0 21
11 37,0 40,1 22
Решение:
Наиболее простым способом первичного определения связи между двумя свойствами является способ графического изображения результатов наблюдений (рис. 2).
Рис. 2. Зависимость между величиной отскока бойка молотка и прочностью бетона
Для этого строится поле корреляции или диаграмма разброса из которой часто удается визуально определить вид зависимости и определить соответствующую ей функциональную зависимость (рис. 3)
Рис. 3. Зависимость между величиной отскока бойка молотка и прочностью бетона
Расположение точек на поле корреляции подсказывает линейную зависимость между величиной отскока бойка молотка и прочностью бетона.
При парной линейной корреляции между двумя величинами x и y теоретическое уравнение, описывающее эту связь, выглядит так:
Y^=a+bx
Угловой коэффициент прямой линии регрессии Y на X называют выборочным коэффициентом регрессии Y на X и обозначают ρyx; он является оценкой коэффициента регрессии.
Определение коэффициентов a и ρyx (b) по методу наименьших квадратов:
a=x2y-xxynx2-(x)2
b=ρyx=nxy-xynx2-(x)2
Составим расчетную таблицу 3.
Таблица 3
Расчетная таблица
№ xi
yi
xi2
xiyi
yi2
yx
1 35,5 41,8 1260,25 1483,90 1747,24 47,40
2 36,4 48,0 1324,96 1747,20 2304,00 48,38
3 35,8 49,3 1281,64 1764,94 2430,49 47,73
4 35,6 47,5 1267,36 1691,00 2256,25 47,51
5 37,0 49,2 1369,00 1820,40 2420,64 49,03
6 33,4 44,2 1115,56 1476,28 1953,64 45,12
7 36,6 50,7 1339,56 1855,62 2570,49 48,59
8 37,5 50,0 1406,25 1875,00 2500,00 49,57
9 34,3 48,6 1176,49 1666,98 2361,96 46,10
10 39,4 52,0 1552,36 2048,80 2704,00 51,63
11 37,0 40,1 1369,00 1483,70 1608,01 49,03
12 37,9 55,3 1436,41 2095,87 3058,09 50,00
13 34,9 50,0 1218,01 1745,00 2500,00 46,75
14 41,3 52,9 1705,69 2184,77 2798,41 53,69
15 38,8 52,0 1505,44 2017,60 2704,00 50,98
Сумма 551,40 731,60 20327,98 26957,06 35917,22
a=x2y-xxynx2-(x)2=20327,98*731,60-551,40*26957,0615*20327,98-551,402=8,918
b=ρyx=nxy-xynx2-(x)2=15*26957,06-551,40*731,6015*20327,98-551,402=1,084
Искомое уравнение регрессии будет иметь вид:
y=8,918+1,084x
Для расчетов пользуются такой модификацией формулы коэффициента корреляции:
ρ=nxiyi-xynxi2-(x)2nyi2-(y)2=15*26957,06-551,40*731,6015*20327,98-551,40215*35917,22-731,602=0,541
Чем ближе абсолютное значение ρ к единице, тем сильнее линейная связь между факторами. Таким образом следует, что рассматриваемая корреляционная зависимость между величинами X и Y является по силе – средней, по характеру – прямой (корреляционная зависимость возрастающая).
При уровне значимости α=0,05 проверим нулевую гипотезу H0:ρ=0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе H1:ρ>0 или ρ<0 .
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы применяют случайную величину:
t=ρ*n-21-ρ2
Величина t при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента с k=n-2 степенями свободы. Поэтому вычисляется наблюдаемое значение критерия:
tфакт=ρ*n-21-ρ2=0,541*15-21-0,5412≈2,319
И по таблице критических точек распределения Стьюдента, по выбранному уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы k=n-2 находят tтеор0,05;13=2,16
Так как tфакт>tтеор, следовательно, нулевая гипотеза при уровне значимости α=0,05 отвергается, и связь можно считать существенной.