Урна содержит М занумерованных шаров с номерами от 1 до М=7. Шары извлекаются по одному без возвращения. Рассматриваются следующие события:
a) номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1, 2,… M;
b) хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения;
c) нет ни одного совпадения номера шара и порядкового номера извлечения.
Определить вероятности событий А, В, С. Найти предельные значения вероятностей при бесконечном увеличении числа шаров М.
Решение:
Пусть А – событие состоящие в том, что номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1, 2,… M.
Вероятность правильного выбора первого шара 17, второго шара 16 и так далее так как в урне всегда присутствует только один шар с нужным номером . По теореме умножения вероятностей , найдем вероятность извлечения шаров в нужной последовательности:
РА=17∙16∙15∙14∙13∙12∙1=17!=15040≈0,000198
b) Пусть В – событие состоящие в том, что хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения, а В – событие состоящие в том, что ни разу номер шара не совпадет с порядковым номером извлечения.
М-1М=7-17=67 – вероятность того, что первым шаром извлекут не шар с № 1, т.е. всего шаров 7, а проходят 8 шт.
Вычислим вероятность того, что вторым извлекут шар с № 2, т.е. его не должны извлечь первым и извлечь на втором:
М-1М∙1М-1=1М=17
Тогда, по теореме о вероятность обратного события, вероятность того, что вторым извлечется не шар №2:
1-1М=М-1М=67
Найдем вероятность того, что третьим шаром извлечется шар с №3 (т.е. его не должны извлечь при первом и втором извлечении и извлечь на третьем):
М-1М∙М-2М-1∙1М-2=1М=17
И вероятность того, что не извлекут на третьем шар с №3:
1-1М=М-1М=67
Аналогично и с другими шарами. Получили, что вероятность того, что отдельный шар будет извлечен в порядке, не соответствующим его номеру: 67
Тогда вероятность того, что ни разу номер шара не совпадет с порядковым номером извлечения :
РВ=М-1Мм=677=279936823543≈0,34
Тогда
РВ=1-РВ=1-0,34=0,66
c) Найдем вероятность события С – нет ни одного совпадения номера шара и порядкового номера извлечения.
События С и В совпадают, т.е.
РС=РВ=М-1Мм=677=279936823543≈0,34
Найдем значение предельных вероятностей при бесконечном увеличении числа шаров М, т.е.М→∞
