Условие задачи:
В таблице приведены средние значения роста лиц мужского пола в возрасте от 4 до 17 лет.
Возраст, лет (t) Рост, см (у) Возраст, лет (t) Рост, см (y)
4 103,9 11 142,8
5 111,5 12 147,9
6 117,5 13 153,7
7 122,4 14 160,0
8 128,0 15 166,0
9 133,1 16 170,9
10 137,9 17 173,2
Для аппроксимации этих данных Берталанфи предложил формулу
,
где a, b и к – постоянные величины, которые требуется определить. Найти наилучшие значения этих постоянных методом наименьших квадратов, а также методом наименьших квадратов найдите полиномиальную зависимость, сравните результаты.
Решение:
Для решения задачи был использован алгоритм нахождения эмпирических формул, содержащих три параметра для показательной зависимости, описанный в учебном пособии «Численные методы анализа. Приближение функций. Дифференциальные и интегральные уравнения.» под редакцией Б.П. Демидовича, И.А. Марона, Э.З. Шуваловой (стр. 109).
В эмпирической формуле Берталанфи раскроем скобки:
Перенесем свободный член в левую часть:
Умножим обе части на (-1):
Определим параметр а. Для этого выберем крайние точки и и составим среднее арифметическое
Значения x1 и xn берем из табличных данных
определим графически. Для этого построим график
