При контрольной проверке качества хлебобулочных изделий проведено 10 % – ное выборочное обследование партии нарезанных батонов из муки высшего сорта. При этом из 100 отобранных в выборку батонов 90 штук соответствовали требованиям стандарта. Средний вес одного батона в выборке составлял 500,5 г при среднем квадратическом отклонении 15,4 г.
Установите возможные значения для повторного отбора и для бесповторного отбора при: Р1 0,38 0,68 0,87 0,954 0,997
t 0,5 1 1,5 2 3
1) доли стандартных изделий;
2) среднего веса одного изделия во всей партии;
Как изменится размер ошибки для выборочный средней при повторном отборе, если будет проведено 5- и 20 %- ные выборочные наблюдения?
Решение:
Средняя ошибка выборочной доли при бесповторном случайном отборе определяется по формуле:
μp=w1-wn(1-nN)
n – численность выборочной совокупности
N – численность генеральной совокупности
nN=10%=0,1 – по условию
w – доля единиц, обладающих изучаемым признаком, в выборочной совокупности
Доля стандартных изделий в выборке составила:
w=90100=0,9 (90%)
μp=0,9⋅1-0,9100(1-0,1)=0,028
Предельная ошибка уточняет среднюю на вероятность ее появления:
∆p=μp⋅t
где t – коэффициент кратности средней ошибки выборки, определяемый по таблице значений функции Лапласа
При вероятности 0,38 t=0,5.
∆p=0,028⋅0,5=0,014
Доверительный интервал доли генеральной совокупности определяется в границах:
w-∆p<P<w+∆p
0,9-0,014<P<0,9+0,014
0,886<P<0,914
88,6%<P<91,4%
Таким образом, с вероятностью 0,38 можно утверждать, что доля стандартных булок в генеральной совокупности будет не менее 88,6% и не превысит 91,4%.
Аналогично рассчитаем предельную ошибку и доверительный интервал для каждого уровня вероятности, представим результаты в таблице 1.4.1.
Таблица 1.4.1
Вероятность Предельная ошибка Нижняя граница, % Верхняя граница, %
0,38 0,014 88,6 91,4
0,68 0,028 87,2 92,8
0,87 0,042 85,8 94,2
0,954 0,056 84,4 95,6
0,997 0,084 81,6 98,4
Таким образом, чем выше вероятность, тем шире доверительный интервал.
При случайном бесповторном отборе средняя ошибка выборки рассчитывается по формуле:
μx=σ2n(1-nN)
σ2 – дисперсия признака (квадрат среднего квадратического отклонения)
μx=15,42100⋅(1-0,1)=1,5 гр.
Предельная ошибка уточняет среднюю на коэффициент доверия:
∆x=t∙μx
где t – коэффициент кратности средней ошибки выборки, определяемый по таблице значений функции Лапласа
При вероятности 0,38 t=0,5.
∆x=1,5∙0,5=0,75 гр.
Доверительный интервал генеральной средней заключен в границах:
x-∆x<x<x+∆x
x – выборочная средняя
x – генеральная средняя
500,5-0,75<x<500,5+0,75
499,75<x<501,25
Таким образом, с вероятностью 0,38 можно утверждать, что средний вес батона хлеба в генеральной совокупности будет не менее 499,75 гр. и не превысит 501,25 гр.
Аналогично рассчитаем предельную ошибку и доверительный интервал для каждого уровня вероятности, представим результаты в таблице 1.4.2.
Таблица 1.4.2
Вероятность Предельная ошибка, гр. Нижняя граница, гр. Верхняя граница, гр.
0,38 0,75 499,75 501,25
0,68 1,50 499,00 502,00
0,87 2,25 498,25 502,75
0,954 3,00 497,50 503,50
0,997 4,50 496,00 505,00
Таким образом, чем выше вероятность, тем шире доверительный интервал.
В целом, при повторном отборе расчет средней ошибки не учитывает долю выборочной совокупности в генеральной, следовательно, это никак не отразится на ошибке.
Но, если полагать, что каждый раз из одной совокупности, равной по исходным данным 1000 батонов хлеба, отбирается разная ее доля (10% – 100 шт., 5% – 50 шт., 15% – 150 шт.), то средняя ошибка будет равна при этом:
μx=15,42100=1,54 гр.
μx=15,4250=2,18 гр.
μx=15,42150=1,26 гр.
Таким образом, чем выше объем выборки, тем меньше ошибка выборочной средней.
