В арифметическом пространстве R3 найти базис данного множества векторов и выразить остальные векторы через этот базис: a1=1,1,2, a2=1,2,1,a3=3,2,1, a4=-1,1,2, a5=3,3,0,a6=3,1,2

В арифметическом пространстве R3 найти базис данного множества векторов и выразить остальные векторы через этот базис: a1=1,1,2, a2=1,2,1,a3=3,2,1, a4=-1,1,2, a5=3,3,0,a6=3,1,2
Решение
Проверим на независимость вектора a1, a2,a3, для чего найдем смешанное произведение:
a1[ a2xa3]= 112121321=2121-1131+21232=
=2-2-1-3+22-6=2-8=-6≠0.
Векторы независимы, так как смешанное произведение не равно нулю.
Разложим вектор a4 по системе векторов a1, a2,a3, составив систему
a4=αa1+β a2+γa3,
получим
α+β+2γ=-1,α+2β+γ=1,3α+2β+γ=2.
Для решения системы методом Крамера вычислим следующие определители:
∆=112121321=2121-1131+21232=2-2-1-3+
+22-6=0+2-8=-6,
Теперь заменяем соответсвующий столбец столбцом свободных членов и вычисляем определители:
∆1=-112121221=-2121-1121+21222=-2-2-1-2+
+22-4=0+1-4=-3,
∆2=1-12111321=1121+1131+21132=1-2+1-3+
+22-3=-1-2-2=-5,
∆3=11-1121322=2122-1132-1232=4-2-2-3-
-2-6=2+1+4=7,
Тогда
α=∆1∆=-3-6=12, β=∆2∆=-5-6=56, γ=∆3∆=7-6=-76.

a4=12a1+56 a2-76a3.

Разложим вектор a5 по системе векторов a1, a2,a3, составив систему
a5=αa1+β a2+γa3,
получим
α+β+2γ=3,α+2β+γ=3,3α+2β+γ=0.
Для решения системы методом Крамера вычислим следующие определители:
∆=112121321=-6 — вычислили ранее,
Теперь заменяем соответсвующий столбец столбцом свободных членов и вычисляем определители:
∆1=312321021=32121-3101+23202=32-2-3-0+
+26-0=0-3+12=9,
∆2=132131301=3101-31131+21330=3-0-31-3+
+20-9=3+6-18=-9,
∆3=113123320=2320-1330+31232=0-6-0-9+
+32-6=-6+9-12=-9,
Тогда
α=∆1∆=9-6=-32, β=∆2∆=-9-6=32, γ=∆3∆=-9-6=32.

a5=-32a1+32 a2+32a3.

Разложим вектор a6 по системе векторов a1, a2,a3, составив систему
a6=αa1+β a2+γa3,
получим
α+β+2γ=3,α+2β+γ=1,3α+2β+γ=2.
Для решения системы методом Крамера вычислим следующие определители:
∆=112121321=-6 — вычислили ранее,
Теперь заменяем соответсвующий столбец столбцом свободных членов и вычисляем определители:
∆1=312121221=32121-1121+21222=32-2-1-2+
+22-4=0+1-4=-3,
∆2=132111321=1121-31131+21132=1-2-31-3+
+22-3=-1+6-2=3,
∆3=113121322=2122-1132+31232=4-2-2-3+
+32-6=2+1-12=-9,
Тогда
α=∆1∆=-3-6=12, β=∆2∆=3-6=-12, γ=∆3∆=-9-6=32.

Читайте также:  Привести к каноническому виду уравнение uxx+yuyy+αuy=0, α=const, y>0.

a6=12a1-12 a2+32a3.

В пространстве R4 задан базис a1=1,-1,1,1,a2=1,1,2,-1, a3=1,0,1,1,
a4=1,1,1,1. Найти координаты вектора x=0,-2,2,-2 в этом базисе.
Решение
Разложим вектор x по системе векторов a1, a2,a3, a4, составив систему
x=αa1+β a2+γa3+δa4,
получим
α-β+γ+δ=0,α+β+2γ-δ=-2,α+γ+δ=2,α+β+γ+δ=-2.

Решим систему методом Гаусса:
Запишем систему в виде расширенной матрицы
1-111112-1101111110-22-2
От второй, третьей, чеивертой строк отнимаем первую
1-102111-20-10200000-22-2
Сложим с четвертой строкой третью, умноженную на 2
1-102111-20-10000000-222
Так как определиттель основной матрицы равен нулю, то вектора не являются базисом и следовательно разложить вектор x не возможно.

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...