В коробке среди пяти деталей – две окрашенные Детали извлекаются последовательно до извлечения обеих окрашенных деталей (после чего извлечения прекращаются)

В коробке среди пяти деталей – две окрашенные. Детали извлекаются последовательно до извлечения обеих окрашенных деталей (после чего извлечения прекращаются).
Составить закон распределения случайной величины X – числа извлеченных деталей.
Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения этой случайной величины.

Решение:

Может быть извлечено две детали (сразу вынули две окрашенные) или пять деталей (если вторая окрашенная деталь была извлечена последней).
Вероятность того, что было извлечено две детали соответствует тому, что первыми подряд были извлечены окрашенные детали, и составляет:
PX=2=25∙14=0,1
Вероятность того, что было извлечено три детали соответствует тому, что первой или второй деталью была извлечена не окрашенная деталь, т.е. вероятность того, что первыми будут извлечены одна из двух окрашенных и одна из трех неокрашенных, а последней извлекается одна окрашенная из трех оставшихся, и составляет:
PX=3=C21∙C31C52∙13=2!1!∙2-1!∙3!1!∙3-1!5!2!∙5-2!∙13=2∙35∙42∙13=0,2
Вероятность того, что было извлечено четыре детали соответствует тому, что первая окрашенная деталь была извлечена первой, второй или третьей, т.е. вероятность того, что первыми будут извлечены одна из двух окрашенных и две из трех неокрашенных, а последней извлекается одна окрашенная из двух оставшихся, и составляет:
PX=4=C21∙C32C53∙12=2!1!∙2-1!∙3!2!∙3-2!5!3!∙5-3!∙12=2∙35∙42∙12=0,3
Вероятность того, что было извлечено пять деталей соответствует тому, что первая окрашенная деталь была извлечена первой, второй, третьей или четвертой, т.е. вероятность того, что первыми будут извлечены одна из двух окрашенных и все три неокрашенных, а последней извлекается последняя окрашенная деталь, и составляет:
PX=5=C21∙C33C54∙11=2!1!∙2-1!∙3!3!∙3-3!5!4!∙5-4!=2∙15=0,4
Получаем ряд распределения:
X
2 3 4 5
P
0,1 0,2 0,3 0,4
Найдем математическое ожидание случайной величины X:
MX=xipi=2∙0,1+3∙0,2+4∙0,3+5∙0,4=4
Найдем дисперсию случайной величины X:
DX=xi2pi-MX2=22∙0,1+32∙0,2+42∙0,3+52∙0,4-42=1
Составим функцию распределения этой случайной величины X:
при x≤2: Fx=0;
при 2<x≤3: Fx=0+0,1=0,1;
при 3<x≤4: Fx=0,1+0,2=0,3;
при 4<x≤5: Fx=0,3+0,3=0,6;
при x>5: Fx=0,6+0,4=1.
Получаем функцию распределения:
F(x)=0, 0,1,0,3,0,6,1, при x≤2; при 2<x≤3;при 3<x≤4;при 4<x≤5;при x>5.

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...