В первом ящике a белых и b черных шаров; во втором ящике c белых и d черных шаров. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара черные?
Решение
Событие «вынули из первого ящика – черный шар» назовем А, тогда Р(А)= =ba+b ; cобытие «вынули из второго ящика – черный шар» назовем В, тогда Р(В)= dc+d . Так как должны наступить оба события, то это является произведением событий А и В. Р(А)Р(В) = bd(a+b)(c+d).
834. В первом ящике 1 белый, 2 красных и 3 синих шара; во втором ящике 2 белых; 4 красных; 3 синих шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что среди вынутых шаров нет синих?
Решение
Событие «вынули из первого ящика – не синий шар» назовем А. Тогда Р(А)=1+21+2+3 = 12; Событие «вынули из второго ящика – не синий шар» назовем В. Тогда Р(В) = 2+42+4+3 = 23. Вероятность того что произошли оба события А и В, это произведение событий. Р(А)Р(В) = 12 ∙ 23 = 13
835. Вероятность того, что в течение дня произойдет неполадка станка , равна 0,03. Какова вероятность того, что в течении четырех дней подряд не произойдет ни одной неполадки?
Решение
Вероятность того, что в течении дня не произойдет неполадки станка
р = (1-0,03) = 0,93. Вероятность того , что в течении четырех дней подряд не произойдет ни одной неполадки Р(А) = р4 = 0,934 ≈ 0,88
836. В классе 12 мальчиков и 18 девочек. Нужно выбрать делегацию из двух человек. Какова вероятность (если считать выбор случайным), что выбраны : 1) два мальчика; 2) две девочки; 3) девочка и мальчик?
Решение
Число всех равновозможных случаев выбрать два делегата из (12+18)=30 учеников – С302 , число групп по два мальчика из 12 мальчиков – С122, тогда вероятность того, что будут выбраны два мальчика: Р(А) = С122С302 = 12!2!10!30!2!28! = 22145 ,
Число всех равновозможных случаев выбрать два делегата из (12+18)=30 учеников – С302 , число групп по две девочки из 18 девочек – С182, тогда вероятность того, что будут выбраны две девочки:
Р(В) = С182С302 = 18!2!16!30!2!28! = 51145 ,
Число всех равновозможных случаев выбрать два делегата из (12+18)=30 учеников – С302, число всех равновозможных случаев выбрать мальчика из 12 мальчиков – С121 , выбрать девочку из 18 девочек – С181 , тогда вероятность что будут выбраны девочка и мальчик: Р(С) = С12 1С181С302 = 12!1!11!∙18!1!17!30!2!28! = 72145
838. Производят три выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,5. Найти вероятность того, что в результате этих выстрелов произойдет только одно попадание.
Решение
А=В=0,5p(A=1)=A*B*B+B*A*B+B*B*A=0,5*0.5*0.5+0.5*0.5*05+0.5*0.5*0.5=0,125*3=0,375
Можно решить другим способом:
В данной задаче воспользуемся формулой Бернулли: Рn(m) = Cnmpm(1-p)n-m, где m = 1, число наступивших событий А в n=3 испытаниях
Р(А) = С31∙0,51(1-0,5)3-1= 3!1!2! . 0,5 . 0,52 = 0,375.
Тема 3.2. Повторение испытаний
843. Монету подбрасывают 8 раз. Какова вероятность того, что 6 раз она упадет вверх?
Решение
В данной задаче воспользуемся формулой Бернулли: Рn(m) = Cnmpm(1-p)n-m, где m = 6, число наступивших событий А в n=8 испытаниях. р=12, так как монета падает либо вверх , либо вниз ( 2 исхода)
Р(А) = С86( 12 )6 (1- 12 )8-6 = 8!6!2! ∙128 = 764
844. Монету подбрасывают 6 раз. Какова вероятность того, что она упадет гербом вверх не больше трех раз?
Решение
В данной задаче воспользуемся формулой Бернулли: Рn(m) = Cnmpm(1-p)n-m, где 0≤m ≤ 3, число наступивших событий А в n=6 испытаниях. р=12, так как монета падает либо гербом вверх , либо вниз ( 2 исхода)
Р(0≤ m ≤ 3) = С60 (12 )0 (1-12 )6 + С61 (12 )1 (1-12 )5 + С62 (12 )2 (1-12 )4+ С63 (12 )3 (1-12 )3 =
= 126 + 6!1!5!∙126+6!2!4!∙126+ 6!3!3!∙126 = 2132
845. В классе 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из трех вопросов, заданных учителем, ответили по одному ученику. Какова вероятность того, что среди ответивших два мальчика и одна девочка?
Решение
На первый вариант – 30 вариантов; на 2-й – тоже 30 и на 3-й – 30. Значит всего вариантов 30∙30∙30 Сколько вариантов, что на один из вопросов ответил мальчик? – 20 на другой вопрос – тоже 20. А вариантов, что на один из вопросов ответила девочка -10. Тогда комбинаций 20∙20∙10 теперь вероятность – это отношение количества вариантов 20∙20∙1030∙30∙30 = 49
846. В каждом из четырех ящиков по 5 белых и по 15 черных шаров. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность вынуть два белых и два черных шара?
Решение
Вероятность вытащить белый шар из ящика – 520 = 14 , тогда по формуде Бернулли:
Р(А) = С42∙142∙1- 142 = 4!2!2!∙142∙342 = 27128
850. Имеется 20 ящиков однородных деталей. Вероятность того, что в одном взятом наудачу ящике детали окажутся стандартными, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число ящиков, в которых все детали стандартные.
Решение
Здесь n = 20; p = 0,75; q = 1- 0,75 = 0,25
np – q ≤ m0 ≤ np + q
20∙0,75-0,25 ≤ m0 ≤ 20∙0,75+0,25
14,74 ≤ m0 ≤ 15,25
Так как m — целое число, то m0 =15
Тема 3.3. Случайные величины
866. Стрелок производит по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить ряд распределения числа попаданий.
Решение:
n=3; p=0,3; q=1-p=1-0,3=0,7;
P(0) = С30∙0,30∙0,73= 0,343
P(1) = С31∙0,31∙0,72= 0,441
P(2) = С32∙0,32∙0,71= 0,189
P(3) = С33∙0,33∙0,70= 0,027
Проверка: Р(0)+Р(1)+Р(2)+Р(3)=1
0,343 + 0,441 + 0,189 + 0,027 = 1
1=1
Ряд распределения числа попаданий;
Xn 0 1 2 3
Pn 0,343 0,441 0,189 0,027
867. В урне имеются четыре шара с номерами от 1 до 4. Вынули два шара. Случайная величина X– сумма номеров шаров. Построить ряд распределения случайной величины X.
Решение
Значениями случайной величины X являются 3, 4, 5, 6, 7. Найдем соответствующие вероятности. Значение 3 случайной величины X может принимать в единственном случае, когда один из выбранных шаров имеет номер 1, а другой 2. Число всевозможных исходов испытания равно числу сочетаний из четырех (число возможных пар шаров) по два.
По классической формуле вероятности получим
Аналогично,
Р(Х = 4) =Р(Х = 6) =Р(Х = 7) = 1/6.
Сумма 5 может появиться в двух случаях: 1 + 4 и 2 + 3, поэтому
.
Ряд распределения случайной величины Х имеет вид:
Xn 3 4 5 6 7
n 1/6 1/6 1/3 1/6 1/6
868. Случайная величина X подчинена закону распределенияС плотностью
434111858500 a/a2-x2 при |x| < a
f(x)= 0 при |x| ≥ a
Требуется: 1) найти коэффициент а; 2) найти вероятность попадания случайной величины Х на участок (а/2, а); 3) построить график распределения плотности вероятности.
Решение
-аааa2-х2 dx = 1
– a[arccos ( xa )]a-a =1; aπ = 1; a = 1π
2) P(a2 < x < a) = a2ааa2-х2 dx =- a[arccos ( xa )]aa/2 = 1π∙π3 = 13
3)
874. В урне б белых и 4 черных шара. Из нее пять раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают в урну и шары перемешивают. Приняв за случайную величину X число извлеченных белых шаров, составить закон распределение этой величины, определить ее математическое ожидание и дисперсию.
РешениеТ.к. шары в каждом опыте возвращаются обратно и перемешиваются, то испытания можно считать независимыми (результат предыдущего опыта не влияет на вероятность появления или непоявления события в другом опыте).Таким образом, вероятность появления белого шара в каждом опыте постоянна и равна Pб = 610 = 0,6Таким образом, в результате пяти последовательных испытаний белый шар может не появиться вовсе, появиться один раз, два, три, четыре или пять раз.Для составления закона распределения надо найти вероятности каждого из этих событий.1) Белый шар не появился вовсе: Pб(0) = (1 – Pб)5 = 0,010242) Белый шар появился один раз: Pб(1) = C51 ∙Pб(1 – Pб)4= 5!1!4!∙0,6∙0,44=0,07683) Белый шар появиться два раза: Pб(2) =5!2!3!∙0,62∙0,43= 0,23044) Белый шар появиться три раза: Pб(3) =5!3!2!∙0,63∙0,42= 0,34565) Белый шар появиться четыре раза: Pб(4) =5!4!1!∙0,64∙0,41= 0,25926) Белый шар появился пять раз: Pб(5) =0,65 = 0,07776Получаем следующий закон распределения случайной величины Х.
х 0 1 2 3 4 5
x2 0 1 4 9 16 25
р(х) 0,01024 0,0768 0,2304 0,3456 0,2592 0,0776
M(X) = 1∙0,0768+2∙0,2304+3∙0,3456+4∙0,2592+5∙0,0776 ≈3M(X2) = 1∙0,0768+ 4∙0,2304+9∙0,3456+16∙0,2592+25∙0,0776≈ 10,2D(X)= M(X2) – [M(X)]2 = 10,2 – 9= 1,2875. Дана функция
624307104622600При каком значении X функция f(x) может быть принята за плот-ность вероятности случайной величины X? Определить это зна-чение λ, найти математическое ожидание и среднее квадратичноеотклонение соответствующей случайной величины X.
0 при x < 0
f(x) = λ(4x – x3) при 0 ≤ x ≤ 2
0 при x > 2
Решение
02λ(4х- х3) dx = 1
λ[2×2- x44]02 =1; λ= 18-4 = 14
M(X) = 0214x4x- x3dx=14[ 4×33 – x55]20 = 1615
M(X2) = 0214x24x- x3dx=14[ 4×44 – x66]20 = 43
σ(X) = 43-161522= 44225 = 0,44
Тема 3.4.Закон больших чисел.
927. В урне 100 белых и 100 черных шаров. Вынули с возвращением 50 шаров. Оценить снизу вероятность того, что количество белых шаров из числа вынутых удовлетворяет двойному неравенству 15<m<35.
Решение:
Используем теорему Бернулли в виде:
P(|m-np|≤ε) > 1 – npgε2
Вероятность достать белый шар при каждом испытании равна р=100/200=0,5, тогда q =0,5. Для вычисления ε раскроем модуль и получим:
25 – ε ≤ m ≤ 25 + ε
-11452959293800Учитывая данные задачи, получим систему уравнений, решая которую найдем ε:
25 – ε = 15
25 + ε = 35
откуда ε= 10.
Подставим значения и оценим вероятность
P > 1- 50∙0,25100 = 78
Тема 3.5. Вариационные ряды
954. Определить у и D (Y) для статистического распределения
У 2 5 8 11 14 17 20 23
W 0,10 0,20 0,15 0,25 0,05 0,12 0,08 0,05
Решение
Значения Y образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью 3. Поэтому Y= 2 + 3(Х-1), т.е. Y = 3Х – 1, k = 3 , b= -1/
Если Х последовательно принимает значения 1,2,3,.., то Y принимает соответственно значения 2, 5, 8, … Таким образом , можно записать статистическое распределение величин Х и Х2.
Х 1 2 3 4 5 6 7 8
Х2 1 4 9 16 25 36 49 64
Wх 0,10 0,20 0,15 0,25 0,05 0,12 0,08 0,05
Отсюда находим:
х=1∙0,10+2∙0,20+3∙0,15+4∙0,25+5∙0,05+6∙0,12+7∙0,08+8∙0,05=3,88
х2 = 1∙0,10+4∙0,20+9∙0,15+16∙0,25+25∙0,05+36∙0,12+49∙0,08+64∙0,05= 18,94
у = 3∙3,88-1=10,64
D (Y) = 32( 18,94 – 3,882) = 34,97
Тема 3.6. Проверка статистических гипотез.
4. Игральный кубик бросили 60 раз, при этом числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 выпали соответственно 12, 9, 13, 11, 8, 7 раз. Можно ли на 5%-м уровне значимости отвергнуть гипотезу о симметричности кубика.
Решение
Суть решение задачи заключается определении вероятности ошибки исходя из нулевой гипотезы. Рассмотрим данную гипотезу: Н:р=16;
Определяем переменные, для решения этой гипотезы :
Математические переменные нулевой гипотезы
x 1 2 3 4 5 6
m 12 9 13 11 8 7
m1 = 12; m2 = 9; m3=13; m4=11; m5=8; m6 = 7
np = 60∙16 =10
Вычисляем 2:
2= m1-np2np + m2-np2np +m3-np2np +m4-np2np +m5-np2np +m6-np2np
2= 12-10210 +9-10210 +13-10210 +11-10210 +8-10210 +7-10210 = 2810 = 2,8
r = 6 – 1 =5;
2кр = 11,1 для α=0,05
Так как 2 < 2кр , тогда гипотеза о симметричности кубика не может быть отвергнута. Тема 3.7. Элементы теории корреляции.
Дана корреляционная таблица для величин X и У, гдеX—срок службы колеса вагона в годах, а У—усредненное значение износа по толщине обода колеса в миллиметрах:
Х У 0 2 7 12 17 22 27 32 37 42
0 3 6
1 25 108 44 8 2
2 3 50 60 21 5 5
3 I 11 33 32 13 2 3 1
4
5 5 13 13 7 2
5
1 2 12 6 3 2 1
6
1
1
2 1
1
7
1 1
1
Определить коэффициент корреляции и уравнения линий регрес-сии.
Решение
Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:
EQ yx = rxy f(x – xto(x);σx) σy + xto(y)
Уравнение линейной регрессии с x на y имеет вид:
EQ xy = rxy f(y – xto(y);σy) σx + xto(x)
найдем необходимые числовые характеристики.
Выборочные средние:
EQ xto(x) =
= (0(3 + 25 + 3 + 1) + 2(6 + 108 + 50 + 11 + 5 + 1) + 7(44 + 60 + 33 + 5 + 1 + 1) + 12(8 + 21 + 32 + 13 + 2 + 1 + 1) + 17(2 + 5 + 13 + 13 + 12) + 22(5 + 2 + 7 + 6) + 27(3 + 2 + 3 + 2) + 32(1 + 2 + 1 + 1) + 37(1) + 42(1) + )/544 = 7.39
EQ xto(y) =
= (0(3 + 25 + 3 + 1) + 2(6 + 108 + 50 + 11 + 5 + 1) + 7(44 + 60 + 33 + 5 + 1 + 1) + 12(8 + 21 + 32 + 13 + 2 + 1 + 1) + 17(2 + 5 + 13 + 13 + 12) + 22(5 + 2 + 7 + 6) + 27(3 + 2 + 3 + 2) + 32(1 + 2 + 1 + 1) + 37(1) + 42(1) + )/544 = 2.19
Дисперсии:
σ2x = (02(3 + 25 + 3 + 1) + 22(6 + 108 + 50 + 11 + 5 + 1) + 72(44 + 60 + 33 + 5 + 1 + 1) + 122(8 + 21 + 32 + 13 + 2 + 1 + 1) + 172(2 + 5 + 13 + 13 + 12) + 222(5 + 2 + 7 + 6) + 272(3 + 2 + 3 + 2) + 322(1 + 2 + 1 + 1) + 372(1) + 422(1))/544 – 7.392 = 50.61
σ2y = (02(3 + 6) + 12(25 + 108 + 44 + 8 + 2) + 22(3 + 50 + 60 + 21 + 5 + 5) + 32(1 + 11 + 33 + 32 + 13 + 2 + 3 + 1) + 42(5 + 5 + 13 + 13 + 7 + 2) + 52(1 + 2 + 12 + 6 + 3 + 2 + 1) + 62(1 + 1 + 2 + 1 + 1) + 72(1 + 1 + 1))/544 – 2.192 = 1,67
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
σx = 7,11 и σy = 1,29
и ковариация:
Cov(x,y) = (0•0•3 + 2•0•6 + 0•1•25 + 2•1•108 + 7•1•44 + 12•1•8 + 17•1•2 + 0•2•3 + 2•2•50 + 7•2•60 + 12•2•21 + 17•2•5 + 22•2•5 + 0•3•1 + 2•3•11 + 7•3•33 + 12•3•32 + 17•3•13 + 22•3•2 + 27•3•3 + 32•3•1 + 2•4•5 + 7•4•5 + 12•4•13 + 17•4•13 + 22•4•7 + 27•4•2 + 7•5•1 + 12•5•2 + 17•5•12 + 22•5•6 + 27•5•3 + 32•5•2 + 37•5•1 + 2•6•1 + 12•6•1 + 27•6•2 + 32•6•1 + 42•6•1 + 7•7•1 + 12•7•1 + 32•7•1)/544 – 7.39 • 2.19 = 6.1
Определим коэффициент корреляции:
EQ rxy = f(Cov(x,y);σxσy)
rxy = 6.17.11∙1.29 = 0,66
Запишем уравнения линий регрессии y(x):
yx = 0.66x-7.397.111.29 + 2.19
и вычисляя, получаем:
yx = 0.12 x + 1.24
Запишем уравнения линий регрессии x(y):
xy = 0.66y-2.191.297.11 + 7.39
и вычисляя, получаем:
xy = 3.64 y – 0.15
Если построить точки, определяемые таблицей и линии регрессии, увидим, что обе линии проходят через точку с координатами (7.39; 2.19) и точки расположены близко к линиям регрессии.