В результате эксперимента получены данные, записанные в виде таблицы. Требуется, приняв в качестве нулевой гипотезу H0: генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение, проверить её, пользуясь критерием Пирсона при уровне значимости α= 0,025.
28,5 59,2 30,6 24,7 62,8 38,6 21,9 58,1 38,8 30,1
39,1 31,1 14,6 46,7 39,5 57,6 30,8 39,9 63,8 15,1
23,4 41,9 57,2 41,4 30,3 40,8 6,47 40,5 59,6 40,1
42,3 21,6 65,5 31,4 42,6 43,1 14,8 44,5 27,1 56,9
66,0 46,9 29,3 76,8 6,5 66,8 31,8 56,4 45,6 33,6
26,4 32,3 67,5 45,7 56,1 32,9 70,8 29,1 45,9 25,9
46,1 19,8 62,1 33,9 46,2 22,8 46,4 34,5 55,6 40,7
35,8 47,3 36,1 22,4 43,1 38,1 55,2 42,6 41,7 74,9
12,9 44,5 47,8 50,1 78,5 54,9 20,1 48,9 9,8 48,4
22,6 54,7 46,3 49,8 54,2 46,0 51,0 49,6 46,3 50,5
Решение:
Запишем значения результатов эксперимента в виде вариационного ряда.
Варианта частота варианта частота варианта частота варианта частота варианта частота
6,47 1 29,1 1 39,5 1 46,4 1 57,2 1
6,5 1 29,3 1 39,9 1 46,7 1 57,6 1
9,8 1 30,1 1 40,1 1 46,9 1 58,1 1
12,9 1 30,3 1 40,5 1 47,3 1 59,2 1
14,6 1 30,6 1 40,7 1 47,8 1 59,6 1
14,8 1 30,8 1 40,8 1 48,4 1 62,1 1
15,1 1 31,1 1 41,4 1 48,9 1 62,8 1
19,8 1 31,4 1 41,7 1 49,6 1 63,8 1
20,1 1 31,8 1 41,9 1 49,8 1 65,5 1
21,6 1 32,3 1 42,3 1 50,1 1 66 1
21,9 1 32,9 1 42,6 2 50,5 1 66,8 1
22,4 1 33,6 1 43,1 2 51 1 67,5 1
22,6 1 33,9 1 44,5 2 54,2 1 70,8 1
22,8 1 34,5 1 45,6 1 54,7 1 74,9 1
23,4 1 35,8 1 45,7 1 54,9 1 76,8 1
24,7 1 36,1 1 45,9 1 55,2 1 78,5 1
25,9 1 38,1 1 46 1 55,6 1
26,4 1 38,6 1 46,1 1 56,1 1
27,1 1 38,8 1 46,2 1 56,4 1
28,5 1 39,1 1 46,3 2 56,9 1
Найдем размах варьирования
R=xmax-xmin=78,5-6,47=72,03
Объем выборки n=100
Для определения данных интервала воспользуемся формулой
∆x=R1+3,3lnn
∆x=72,031+3,3ln100=72,031+3,3∙2=72,037,6≈9,4776
Возьмем за шаг h=9,48, тогда число интервалов, на которые будет разбит весь вариационный ряд, вычислим по формуле
λ=Rh+1⟹λ=72,039,48+1=7+1=8 интервалов
Найдем середины интервалов
Подсчитаем середины интервалов xi+xi+12, число значений результатов эксперимента, попавших в каждый интервал, т.е. находим частоты интервалов ni, относительные частоты wi=nin и их плотности wih и все значения оформим в таблицу
Номер частичного интервала
i
Границы интервала
xi-xi+1
Середина интервала
xi’=xi+xi+12
Частота интервала ni
Относительная частота
wi=nin
Плотность относительной частоты wih
1 6,47-15,95
11,21
7
0,07
0,007
2 15,95-25,43
20,69
9
0,09
0,009
3 25,43-34,91
30,17
18
0,18
0,019
4 34,91-44,39
39,65
20
0,2
0,021
5 44,39-53,87
49,13
22
0,22
0,023
6 53,87-63,35
58,61
15
0,15
0,016
7 63,35-72,83
68,09
6
0,06
0,006
8 72,43-82,31
77,37
3
0,03
0,003
∑
100
Найдем выборочное среднее и выборочную дисперсию
x=1nixi’ni==110011,21∙7+20,69∙9+30,17∙18+39,65∙20+49,13∙22+58,61∙15+68,09∙6+77,37∙3==110078,47+186,21+543,06+793+1080,86+879,15+408,54+232,11=4201,4100=42,014
D=ixi’-x2niini=
=110011,21-42,0142∙7+20,69-42,0142∙9+30,17-42,0142∙18+39,65-42,0142∙20+49,13-42,0142∙22+58,61-42,0142∙15+68,09-42,0142∙6+77,37-42,0142∙3==1100948,89∙7+454,71∙9+140,28∙18+5,59∙20+50,64∙22+275,43∙15+679,96∙6+1250,05∙3==11006642,21+4092,42+2525,05+111,8+1114,02+4131,41+4079,75+3750,14=26446,76100=264,4676≈264,47
D=σ=264,47≈16,26
По условию задачи нам необходимо использовать критерий Пирсона, правило применения которого сводится к следующему:
1. вычислить теоретические частоты, затем наблюдаемое значение критерия по формуле χнабл2=1nini2-n;
2. по таблице критических точек распределения χ2, по заданному уровню значимости α числу степеней свободы k=l-3, где l– число интервалов, найти критическую точку χкр2α;k;
3. если χнабл2<χкр2 –нет оснований отвергать нулевую гипотезу;
если χнабл2>χкр2 – нулевую гипотезу отвергают.
Согласно критерию Пирсона необходимо сравнить эмпирические и теоретические частоты. Эмпирические частоты даны. Найдем теоретические частоты. Для этого пронумеруем X, т.е. перейдем к случайной величине z=x-xσ и вычислим концы интервалов: zi=xi-xσ и zi+1=xi+1-xσ .Наименьшее значение z1 положим стремящимся к -∞, а наибольшее – zn+1, стремящимся к +∞.
Число наблюдений ni в отдельных интервалах должно быть достаточно большим (рекомендуется иметь в каждом интервале не менее 5-10 наблюдений). Если ni в отдельных интервалах очень малы, следует объединить интервалы. Длины интервалов могут быть различными. В соответствии с этим число исходных интервалов может быть уменьшено. Так как n8=3<5, то седьмой интервал объединим с восьмым и получим интервал 63,35;82,31с частотой n7=9. Находим теоретические вероятности Pi=Фzi+1-Фzi, где Фz- функция Лапласа (табличные значения) и теоретические частоты ni’=n∙Pi=100Pi.
i
Границы интервала Границы интервала Фzi
Фzi+1
Pi
ni’
xi
xi+1
zi=xi-xσ zi+1=xi+1-xσ
1 6,47
15,95
-∞
-1,6
-0,5
-0,4452
0,0548
5,48
2 15,95
25,43
-1,6
-1,02
-0,4452
-0,3461
0,0991
9,91
3 25,43
34,91
-1,02
-0,44
-0,3461
-0,17
0,1761
17,61
4 34,91
44,39
-0,44
0,15
-0,17
0,0596
0,2296
22,96
5 44,39
53,87
0,15
0,73
0,0596
0,2673
0,2077
20,77
6 53,87
63,35
0,73
1,31
0,2673
0,4049
0,1376
13,76
7 63,35
82,31
1,31
+∞
0,4049
0,5
0,0951
9,51
∑
1
100
Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона
χнабл2=ini-ni’2ni’
χнабл2=7-5,4825,48+9-9,9129,91+18-17,61217,61+20-22,96222,96+22-20,77220,77+15-13,76213,76+9-9,5129,51==2,31045,48+0,82819,91+0,152117,61+8,761622,96+1,512920,77+1,537613,76+0,26019,51=0,4216+0,0836+0,0086+0,3816+0,0728+0,1117+0,0274=1,1073
По таблице критических точек распределения χ2, уровню значимости α= 0,025 и числу степеней свободы k=l-3=7-3=4 находим χкр2=11,1:.
Так как χнабл2<χкр2 , то гипотеза H0 о нормальном распределении генеральной совокупности принимается.
