В старинной игре в кости необходимо было для выигрыша получить при бросании трех игральных костей сумму очков, превосходящую 10. Найти вероятность: а) выбросить 11 или 12 очков; б) выигрыша.
2)
Решение:
Воспользуемся классической вероятностью:
PA=mn,
где n- общее число исходов, m- число благоприятных исходов для наступления события A.
Найдем общее число исходов. Так как для каждой кости им имеется 6 вариантов очков, то по правилу произведения, для трех костей число вариантов равно
n=6∙6∙6=216.
Подсчитаем благоприятные исходы:
а) Пусть x, y,z- число очков на каждой из костей. Тогда благоприятные условия определяются из уравнений:
x+ y+z=11 или x+ y+z=12, x,y,z∈1,2,3,4,5,6.
x
1 2 3 4 5 6
y
x+ y
1
2 3 4 5 6 7
2
3 4 5 6 7 8
3
4 5 6 7 8 9
4
5 6 7 8 9 10
5
6 7 8 9 10 11
6
7 8 9 10 11 12
z
1 2 3 4 5 6
x+y
x+ y+z
2
3 4 5 6 7 8
3
4 5 6 7 8 9
4
5 6 7 8 9 10
5
6 7 8 9 10 11
6
7 8 9 10 11 12
7
8 9 10 11 12 13
8
9 10 11 12 13 14
9
10 11 12 13 14 15
10
11 12 13 14 15 16
11
12 13 14 15 16 17
12
13 14 15 16 17 18
Подсчитаем число благоприятных исходов:
Вначале найдем число выпадений 11 очков:
x+ y=5, z=6- 4 исхода;
x+ y=6, z=5 – 5 исходов;
x+ y=7, z=4 – 6 исходов;
x+ y=8, z=3- 5 исходов;
x+ y=9, z=2 – 4 исхода;
x+ y=10, z=1 – 3 исхода.
Общее число: 4+5+6+5+4+3=27.
Аналогично, для числа выпадений 12 очков:
x+ y=6, z=6- 5 исходов;
x+ y=7, z=5 – 6 исходов;
x+ y=8, z=4 – 5 исходов;
x+ y=9, z=3-4 исхода;
x+ y=10, z=2 – 3 исхода;
x+ y=11, z=1 – 2 исхода.
Общее число: 5+6+5+4+3+2=25.
Таким образом, общее число благоприятных исходов выпадения 11 или 12 очков равно:
m=27+25=52.
PA=52216=1354-искомая вероятность.
Ответ: 1354.
б) Подсчитаем благоприятные исходы: сумма очков 11 или 12 или 13 или 14 или 15 или 16 или 17 или 18.
Число выпадений 11 и 12 очков подсчитаны. Найдем число остальных исходов опираясь на вышеприведенные таблицы:
13 очков :
x+ y=7, z=6- 6 исхода;
x+ y=8, z=5 – 5 исходов;
x+ y=9, z=4 – 4 исходов;
x+ y=10, z=3- 3 исходов;
x+ y=11, z=2 – 2 исхода;
x+ y=12, z=1 – 1 исход.
Общее число: 6+5+4+3+2+1=21 исход;
14 очков :
x+ y=8, z=6- 5 исходов;
x+ y=9, z=5 – 4 исходов;
x+ y=10, z=4 – 3 исходов;
x+ y=11, z=3- 2 исходов;
x+ y=12, z=2 – 1 исхода,
Общее число: 5+4+3+2+1=15 исходов;
15 очков :
x+ y=9, z=6- 4 исхода;
x+ y=10, z=5 – 3 исходов;
x+ y=11, z=4 – 2 исходов;
x+ y=12, z=3- 1 исходов,
Общее число: 4+3+2+1=10 исходов;
16 очков :
x+ y=10, z=6- 3 исхода;
x+ y=11, z=5 – 2исходов;
x+ y=12, z=4 – 1 исходов,
Общее число: 3+2+1=6 исходов;
17 очков :
x+ y=11, z=6- 2 исхода;
x+ y=12, z=5 – 1 исход,
Общее число: 2+1=3 исхода;
18 очков :
x+ y=12, z=6- 1 исход
Общее число: 1 исход.
Тогда общее число благоприятных исходов для выигрыша равно:
m=27+25+21+15+10+6+3+1=108.
PA=108216=12-искомая вероятность.
