В студенческой группе (8+ β)=9 человек имеют мобильный телефон марки А

В студенческой группе (8+ β)=9 человек имеют мобильный телефон марки А, и (13 – α)=12 человек имеют мобильный телефон марки S. Для проведения опроса случайным образом из списка группы выбирают 4 человек.
Задачи:
Найти вероятность того, что среди отобранных студентов:
5.1. Ровно два студента имеют мобильный телефон марки S.
5.2. Хотя бы один студент имеет мобильный телефон марки S;
5.3. Не более двух студентов имеют мобильный телефон марки S.
5.4. Первый из отобранных студентов имеет телефон марки S, а второй имеет телефон марки А.
5.5. Для случайной величины Х – количество телефонов марки S (в группе из 4 отобранных студентов) построить ряд распределения и найти математическое ожидание.

Решение:

5.1. Ровно два студента имеют мобильный телефон марки S;
Общее количество исходов равно числу сочетаний из 9+12=21 по 4 человека.
Благоприятное количество исходов равно произведению числа сочетаний из 9 по 2 человека с телефоном марки А и числа сочетаний из 12 по 2 человека с телефоном марки S. Тогда искомая вероятность равна:
PA=C92C122C214=9!2!9-2!*12!2!12-2!21!4!21-4!=264665≈0,397
5.2. Хотя бы один студент имеет мобильный телефон марки S;
Искомую вероятность удобнее найти как вероятность события, противоположного событию «все студенты имеют мобильный телефон марки А», для которого благоприятное количество исходов равно числу сочетаний из 9 по 4 человека с телефоном марки А. Тогда искомая вероятность равна:
PB=1-PB=1-C94C214=1-9!4!9-4!21!4!21-4!=1-295=9395=0,979
5.3. Не более двух студентов имеют мобильный телефон марки S.
Искомое событие рассмотрим как сумму событий C0=«ни один студент не имеет мобильный телефон марки S»; C1=«один студент имеет мобильный телефон марки S»; C2=«два студента имеют мобильный телефон марки S».
Вероятности событий C0 и C2 вычислены, соответственно, в п.п. 5.2 и 5.1.
Найдем вероятность события C1, для которого благоприятное количество исходов равно произведению числа сочетаний из 9 по 3 человека с телефоном марки А и числа сочетаний из 12 по 1 человека с телефоном марки S:
PC1=C93C121C214=9!3!9-3!*1221!4!21-4!=1695≈0,168
Тогда искомая вероятность равна:
PC=PC0+PC1+PC2=295+1695+264665=78133≈0,586

Читайте также:  Непрерывная случайная величина задана функцией распределения (интегральной функцией) F(x)

5.4. Первый из отобранных студентов имеет телефон марки S, а второй имеет телефон марки А.
Количество всех исходов равно числу размещений из 21 по 2 человека.
Количество благоприятных исходов равно произведению числа размещений из 12 по 1 человеку с телефоном марки S и числа размещений из 9 по 1 человеку с телефоном марки А.
Тогда искомая вероятность равна:
PD=A121*A91A212=12*921!21-2!=935≈0,257

5.5. Для случайной величины Х – количество телефонов марки S (в группе из 4 отобранных студентов) построить ряд распределения и найти математическое ожидание.
Случайная величина Х может принимать значения от 0 до 4. Вероятности x=0,1,2 были вычислены ранее (295,1695,264665 соответственно), определим недостающие.
— Х=3. Благоприятное количество исходов равно произведению числа сочетаний из 9 по 1 человеку с телефоном марки А и числа сочетаний из 12 по 3 человека с телефоном марки S:
Px=3=C91C123C214=9*12!3!12-3!21!4!21-4!=44133
— Х=4. Благоприятное количество исходов равно числу сочетаний из 12 по 4 человека с телефоном марки S:
Px=4=C124C214=12!4!12-4!21!4!21-4!=11133
Проверим правильность вычислений:
ipxi=295+1695+264665+44133+11133=1
Получили ряд распределения случайной величины Х:
x
0 1 2 3 4
p(x)
295
1695
264665
44133
11133

Читайте также:  Исследование зависимости между среднемесячным доходом X на семью (в тыс

Т.к. случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение (из группы в N элементов, в которой K элементов имеют признак A, извлекают n элементов), то воспользуемся следующей формулой для вычисления математического ожидания:
Mx=n*KN=4*1221=4821

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...