В таблице приведен статистический ряд распределения случайной величины Х.
Требуется:
а) Вычислить числовые характеристики выборки: выборочное среднее х; выборочное среднее квадратическое отклонение s; выборочныйе коэффициены асимметрии и эксцесса A* и E*; выборочный коэффициент вариации V.
б) Предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, найти теоретические частоты и проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия согласия χ2.
в) Найдите интервальные оценки параметров нормального закона распределения (доверительную вероятность принять равной γ=0,95)
xi
4,00 – 4,02 4,02 – 4,04 4,04 – 4,06 4,06 – 4,08 4,08 – 4,10
ni
6 20 46 23 11
Решение:
а) Вычислим числовые характеристики выборки: выборочное среднее х; выборочное среднее квадратическое отклонение s; выборочныйе коэффициены асимметрии и эксцесса A* и E*; выборочный коэффициент вариации V.
Вычислим середины интервалов:
х1*=4,00+4,022=4,01, х2*=4,02+4,042=4,03, х3*=4,04+4,062=4,05
х4*=4,06+4,082=4,07, х5*=4,08+4,102=4,09,
Тогда
xi
4,00 – 4,02 4,02 – 4,04 4,04 – 4,06 4,06 – 4,08 4,08 – 4,10
ni
6 20 46 23 11
xi*
4,01 4,03 4,05 4,07 4,09
Объем выборки равен n=6+20+46+23+11=106
Выборочную среднюю найдем по формуле:
x=1ni=15xi*ni
Тогда
x=1106∙4,01∙6+4,03∙20+4,05∙46+4,07∙23+4,09∙11=
=1106∙429,56=4,05
Найдем выборочную дисперсию по формуле:
s2=1ni=15(xi*)2ni-x2
Тогда
s2=1106∙4,012∙6+4,032∙20+4,052∙46+4,072∙23+4,092∙11-4,052
=0,000413
Выборочное среднее квадратическое отклонение s равно
s=s2=0,000413=0,0203
Рассчитаем показатель асимметрии через отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению данного ряда в кубе, то есть
A*=μ3s3
где μ3 – центральный момент третьего порядка, рассчитываемый по формуле:
μ3=1ni=1nxi*-x3ni
Составим расчетную таблицу
Середина интервала
xi*
Частота интервала
ni
xi*-x2ni
xi*-x3ni
xi*-x4ni
4,01 6 0,0096 -0,00038 0,0000154
4,03 20 0,008 -0,00016 0,0000032
4,05 46 0 0 0
4,07 23 0,0092 0,000184 0,0000037
4,09 11 0,0176 0,000704 0,0000282
106 0,0444 0,000344 0,0000504
Тогда
μ3=0,000344106=0,00000325
A*=μ3s3=0,000003250,02033=0,000003250,00000836=0,388>0
Так как величина показателя асимметрии положительная, следовательно, речь идёт о правосторонней асимметрии.
Полученный результат свидетельствует о наличии несущественной по величине и положительной по своему характеру асимметрии.
Далее рассчитаем показатель эксцесса (E*). Наиболее точно он определяется по формуле с использованием центрального момента четвёртого порядка:
μ4=1ni=1nxi*-x4mi=1106∙0,0000504=0,000000475
E*=μ4s4-3=0,0000004750,02034-3=0,00000047550,0000001698-3=2,8-3=
=-0,2<0
Так как E*<0 распределение является плосковершинным
Вычислим выборочный коэффициент вариации V по формуле:
V=sx∙100%=0,02034,05∙100%=0,5
Поскольку V≤30%, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять.
б) Предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, найти теоретические частоты и проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия согласия χ2.
Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.
χнаб2=i=15ni-ni2ni
где ni=nPi
С помощью формул, соответствующих нормальному закону распределения, вычислим теоретические вероятности попадания случайного признака в каждый из 5 интервалов:
Pi=Фxi+1-xвs-Фxi-xвs
При вычислении учтем что функция Лапласа не парная, то есть Ф-х=-Ф(х). Значение функции Лапласа находим с помощью таблицы.
А так же учитывая ранее найденные значения x=4,05, s=0,0203
Составим расчетную таблицу для вычисления теоретических частот нормального распределения.
Границы интервала Частота ni
zi
=xi-xвs
zi+11
=xi+1-xвs
Ф(zi)
Ф(zi+1)
Pi=∆Фi
Теоретическая частота ni=nPi
4,00 – 4,02 6 -2,46 -1,48 -0,49 -0,43 0,06 6,66
4,02 – 4,04 20 -1,48 -0,49 -0,43 -0,19 0,24 25,59
4,04 – 4,06 46 -0,49 0,49 -0,19 0,19 0,38 40,04
4,06 – 4,08 23 0,49 1,48 0,19 0,43 0,24 25,59
4,08 – 4,10 11 1,48 2,46 0,43 0,49 0,06 6,66
Вычислим χнаб2 по формуле:
χнаб2=i=15ni-ni2ni
Составим расчетную таблице
№ интер
вала ni
ni=nPi
ni-ni
ni-ni2
mi-mi2mi
1 6 6,66 -0,66 0,44 0,07
2 20 25,59 -5,59 31,25 1,22
3 46 40,04 5,96 35,55 0,89
4 23 25,59 -2,59 6,71 0,26
5 11 6,66 4,34 18,83 2,83
5,26
Тогда χнаб2=5,26
Найдем критическую точку χкр2, которая отделяет критическую область от области принятия гипотезы. Значение χкр2 найдем по таблице распределения Пирсона.
Так как уровень значимости примем α =1-γ=1-0,95= 0,05; q=2, k=5, число степеней свободы r=k-q-1=5-2-1=2
По входным параметрам таблицы (α = 0,05; r = 2) находим χкр2=3,28
Так как χнабл2=5,26<χкр2=3,28, то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении. То есть справедливое предположение о том, что данные выборки имеют нормальное распределение.
в) Найдем интервальные оценки параметров нормального закона распределения (доверительную вероятность принять равной γ=0,95)
Для оценки математического ожидания а нормально распределенного количественного признака Х в случае известной дисперсии служит доверительный интервал
x-tγsn<а<x+tγsn
tγ – значение стандартной нормальной величины, соответствующее
надежности.
Фtγ=γ2, а Фt – функция Лапласа
Найдем tγ из условия Фtγ=0,952=0,475⇒tγ=1,96
Ранее были найдены x=4,05, s=0,0203, n=106
Тогда доверительный интервал для математического ожидания равен:
4,05-1,96∙0,0203106<а<4,05+1,96∙0,0203106
4,05-0,0039<а<4,05+0,0039
4,046<а<4,054 или а∈4,046;4,054
С вероятностью 0,95 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.
Доверительный интервал для статистической оценки среднеквадратического отклонения:
s(1-q)<σ<s(1+q)
По таблице определим q0,95;106=0,14<1
0,0203∙(1-0,14)<σ<0,0203∙(1+0,14)
0,0203∙0,86<σ<0,0203∙1,14
0,0175<σ<0,0231
