В таблице приведена выборка значений нормально распределенной случайной величины X. Требуется: 1) найти точечные оценки: для математического ожидания – выборочную среднюю, для дисперсии – выборочную дисперсию (исправленную), для среднего квадратического отклонения – по выборочной дисперсии; 2) записать плотность вероятности и функцию распределения случайной величины X, используя полученные в пункте 1 оценки математического ожидания и дисперсии; 3) с надежностью γ = 0,95 найти доверительный интервал для математического ожидания, считая, что дисперсия неизвестна.
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12
10.9 10.6 9.9 11 10.5 10.8 10.7 10.1 10.5 11.1 11.2 10.4
Решение:
Число вариант n = 12
1) Выборочная средняя
Выборочную дисперсию находим по формуле
выборочное среднее квадратическое отклонение
исправленная дисперсия
исправленное среднее квадратическое отклонение
2) записать плотность вероятности и функцию распределения случайной величины X, используя полученные в пункте 1 оценки математического ожидания и дисперсии;
плотность вероятности
функция распределения
3) с надежностью γ = 0,95 найти доверительный интервал для математического ожидания, считая, что дисперсия неизвестна.
Для оценки математического ожидания а (с надежностью γ) нормально распределенной случайной величины по выборочной средней хв при неизвестном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал:
Здесь = а – выборочное среднее, n – объём выборки, – коэффициент, определяемый по таблицам для заданных n и γ,
– исправленное среднее квадратическое отклонение.
По таблице учебника Гмурмана В.Е. находим для n=12 и γ = 0,95 = 2,20
Проводим вычисление доверительного интервала
