В таблице приведены наблюдаемые значения признаков Х и Y. Требуется:
1. По данным, приведенным в таблице, вычислить числовые характеристики величин Х и Y: среднее x, y; среднее квадратическое отклонения sx, sy корреляционный момент Kxy, коэффициент корреляции rв
2. Проверить значимость коэффициента корреляции.
3. Построить диаграмму рассеяния и по характеру расположения точек на диаграмме подобрать общий вид функции регрессии.
4. Найти эмпирические функции регрессии Y на Х и Х на Y и построить их графики.
X 160 120 110 80 90 130 150 70 100 60
Y 12,5 9,3 9,2 6,4 7,5 11,6 13,1 5,2 7,9 4,4
Решение:
. Вычислим числовые характеристики величин Х и Y: среднее x, y; среднее квадратическое отклонения sx, sy корреляционный момент Kxy, коэффициент корреляции rв. Для этого для составим расчетную таблицу:
№ xi
yi
xi2
yi2
xiyi
1 160 12,5 25600 156,25 2000
2 120 9,3 14400 86,49 1116
3 110 9,2 12100 84,64 1012
4 80 6,4 6400 40,96 512
5 90 7,5 8100 56,25 675
6 130 11,6 16900 134,56 1508
7 150 13,1 22500 171,61 1965
8 70 5,2 4900 27,04 364
9 100 7,9 10000 62,41 790
10 60 4,4 3600 19,36 264
∑ 1070 87,1 124500 839,57 10206
Вычислим среднее для Х и Y:
x=1nxi=110∙1070=107
y=1nyi=110∙87,1=8,71
Вычислим дисперсии для Х и Y:
sx2=1ni=110xi2-x2=110∙124500-1072=12450-11449=1001
sy2=1ni=110yi2-y2=110∙839,57-8,712=83,957-75,8641=8,09
Вычислим среднее квадратическое отклонения
sx=sx2=1001≈31,639
sy=sy2=8,09≈2,845
Вычислим корреляционный момент Kxy
Kxy=1ni=110xiyi-x∙y=110∙10206-107∙8,71=1020,6-931,97=88,63
Вычислим коэффициент корреляции rв
rв=Kxyσx∙σy=88,6331,639∙2,845=88,6390,013=0,985
Так как 0,9<rв<1, тогда связь между У и Х весьма высокая и прямая.
2. Проверим значимость коэффициента корреляции.
Выдвигаем гипотезы:
H0: rв=0, нет линейной взаимосвязи между переменными;
H1: rв≠0, есть линейная взаимосвязь между переменными.
Для того чтобы при уровне значимости пусть α=0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H1 ≠ 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия (величина случайной ошибки)
tнабл=rn-21-r2
где r=rв=0,985, n=10
Тогда
tнабл=0,985∙10-21-0,9852=0,985∙2,8280,173≈16,1
Найдем критическую точку по уровню значимости α и числу степеней свободы k=n-2=10-2=8. По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=8 находим tкрит0,05, 8=2,31
Таким образом, имеем, что tнабл=16,1>tкрит=2,31 нулевую гипотезу отвергают и, следовательно, выборочный коэффициент корреляции значимо
3. Построить диаграмму рассеяния и по характеру расположения точек на диаграмме подобрать общий вид функции регрессии.
Анализ диаграммы рассеяния показывает наличие близкой к прямолинейной зависимости, так как точки расположены практически по прямой линии, т.е. связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.
4. Найти эмпирические функции регрессии Y на Х и Х на Y и построить их графики.
Уравнение линейной регрессии с Y на X имеет вид:
yx-y=rвsysx (x-x)
Тогда,
yx-8,71=0,81∙2,84531,639 (x-107)
yx-8,71=0,09 (x-107)
yx-8,71=0,09x- 9,42
yx=0,09x-9,42+8,71
yx=0,09x-0,71
Уравнение линейной регрессии с X на Y имеет вид:
xy-x=rвsxsy(y-y)
xy-107=0,985∙31,6392,845 (y-8,71)
xy-107=10,95(y-8,71)
xy-107=10,95 y-95,37
xy=10,95 y-95,37+107
xy=10,95y+11,63
Построим графики функции yx=0,09x-0,71 и xy=10,95y+11,63 по двум точкам:
yx=0,09x-0,71
х
7,889 0
у 0 -0,71
xy=10,95y+11,63
х
0 -1,062
у 11,63 0
