Вариант 4 Математическая статистика Сгруппировать выборку и записать статистические ряды абсолютных и относительных частот

Вариант 4.

Математическая статистика.

Сгруппировать выборку и записать статистические ряды абсолютных и относительных частот.
Представить выборку графически: построить полигон абсолютных частот, полигон относительных частот, нормированную гистограмму.
Найти оценки вариации: выборочное среднее, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
Выдвинуть и проверить с уровнем значимости гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности, построить график подобранной функции распределения (вместе с гистограммой).
Построить доверительные интервалы для параметров распределения генеральной совокупности.
Сформулировать статистические выводы. Они должны содержать сводные результаты по каждому пункту исследования.

30 43 41 40 40 35 35 41 38 45
37 42 38 36 44 39 32 48 43 39
43 30 32 36 42 34 49 48 49 50
37 30 44 48 44 35 45 34 33 41
43 45 50 34 33 39 41 39 46 31
40 52 44 39 35 45 33 42 42 36
44 51 45 39 34 44 40 37 43 32
33 42 40 35 37 43 48 48 50 32
40 48 45 43 36 36 42 40 37 30
44 50 46 39 41 48 44 42 36 51
44 50 47 37 33 34 42 43 43 47
33 48 38 42 45 32 34 44 39 45
48 26 31 34 38 36 46 49 40 48
42 47 35 34 41 33 41 35 43 42
39 37 47 47 33 42 37 39 39 37

Решение:

Выпишем элементы данной выборки в порядке их возрастания:

26 30 30 30 30 31 31 32 32 32
32 32 33 33 33 33 33 33 33 33
34 34 34 34 34 34 34 34 35 35
35 35 35 35 35 36 36 36 36 36
36 36 37 37 37 37 37 37 37 37
37 38 38 38 38 39 39 39 39 39
39 39 39 39 39 39 40 40 40 40
40 40 40 40 41 41 41 41 41 41
41 42 42 42 42 42 42 42 42 42
42 42 42 43 43 43 43 43 43 43
43 43 43 44 44 44 44 44 44 44
44 44 44 45 45 45 45 45 45 45
45 46 46 46 47 47 47 47 47 48
48 48 48 48 48 48 48 48 48 49
49 49 50 50 50 50 50 51 51 52

Читайте также:  1 3 В магазин поступают магнитофоны с трех заводов Производительность первого в два раза меньше производительности второго

Объем выборки . Отсюда следует, что , . Размах выборки равен: . Количество интервалов определим по формуле:
.
Тогда оптимальная длина интервала равна:
.
Нижняя граница первого интервала определяется формулой:
.
Относительные частоты вычисляем по формуле:
.
Плотности относительных частот вычисляем по формуле:
.
Составим таблицу, в которую будем заносить необходимые данные:

Интервалы
24-28 26 1 0,007 0,00175
28-32 30 6 0,04 0,01
32-36 34 28 0,187 0,04675
36-40 38 31 0,207 0,05175
40-44 42 37 0,247 0,06175
44-48 46 26 0,173 0,04325
48-52 50 20 0,133 0,03325
52-56 54 1 0,007 0,00175

150

Для построения полигона абсолютных частот на оси абсцисс откладываем варианты , на оси ординат – соответствующие им частоты . Тогда полигон абсолютных частот имеет вид:

Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладываем варианты , на оси ординат – соответствующие им относительные частоты . Тогда полигон относительных частот имеет вид:

Для построения нормированной гистограммы на оси абсцисс откладываем интервалы вариант, на оси ординат – соответствующие им плотности относительных частот . Тогда нормированная гистограмма имеет вид:

Составим таблицу, в которую будем заносить необходимые данные:

Интервалы
24-28 26 1 1 26 222,9049
28-32 30 6 7 180 716,7894
32-36 34 28 35 952 1344,6972
36-40 38 31 66 1178 266,1319
40-44 42 37 103 1554 42,3613
44-48 46 26 129 1196 668,3274
48-52 50 20 149 1000 1645,298
52-56 54 1 150 54 170,8249

150
6140 5077,335

Вычислим выборочное среднее по формуле:
.
Найдем выборочную дисперсию по формуле:
.
Найдем исправленную выборочную дисперсию по формуле:
.
Найдем исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение по формуле:
.
Мода – это наиболее часто повторяющееся значение признака, которое определяется формулой:
,
где — нижняя граница модального интервала, то есть интервала с наибольшей частотой, — частота в модальном интервале, — частота в предыдущем интервале, — частота в следующем интервале. Тогда получаем:
.
Медиана определяется формулой:
,
где — нижняя граница медианного интервала, — накопленная частота в предыдущем интервале, — частота в медианном интервале. Тогда получаем:
.
Выдвинем гипотезу о том, что распределение генеральной совокупности подчиняется нормальному закону. Следовательно, плотность предполагаемого распределения задается формулой:
.
Строим на одном чертеже гистограмму относительных частот и график теоретической плотности распределения:

Читайте также:  Даны выборочные значения спроса yi на некоторый товар и дохода xi покупателей

Составим таблицу, в которую будем заносить необходимые данные:

Концы промежутков

1 32 -1,53 -0,5 -0,4370 0,063 9,45
2 32 36 -1,53 -0,84 -0,4370 -0,2995 0,1375 20,625
3 36 40 -0,84 -0,16 -0,2995 -0,0636 0,2359 35,385
4 40 44 -0,16 0,53 -0,0636 0,2019 0,2655 39,825
5 44 48 0,53 1,21 0,2019 0,3869 0,185 27,72
6 48 1,21 0,3869 0,5 0,1131 16,965

1 7 9,45 0,635
2 28 20,625 2,637
3 31 35,385 0,543
4 37 39,825 0,200
5 26 27,72 0,107
6 21 16,965 0,959

5,081

При расчетах объединяем два первых и два последних интервала.
Наблюдаемое значение критерия Пирсона вычисляем по формуле:
.
Из таблицы критических значений при уровне значимости и числе степеней свободы находим . Поскольку , то при данном уровне значимости нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.
Доверительные интервалы для оценки генеральной средней и генерального среднего квадратического отклонения нормального распределения с надежностью определяются формулами:
,
,
где значения параметров определяются из соответствующих таблиц с учетом доверительной вероятности и объема выборки : , . Тогда получаем:
,
,
,
.
Сформулируем статистические выводы. Мы разбили нашу выборку (150 значений) на 8 интервалов длиной 4 от (24;28) до (52;56), посчитали абсолютные и относительные частоты попаданий значений в эти интервалы и построили их графики. Затем нашли выборочное среднее (40,93), дисперсию, исправленную дисперсию и исправленное среднее квадратическое отклонение (5,84), моду (41,41) и медиану (38,35). Графическое представление выборки (полигон частот и гистограмма) соответствует нормальному распределению, что и подтвердила проверка данной гипотезы с помощью критерия Пирсона.

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...