Вариант 97 Дано уравнение кривой второго порядка 40×12+25×22+8x1x2+28017×1+27417×2-919=0

Вариант 97
Дано уравнение кривой второго порядка
40×12+25×22+8x1x2+28017×1+27417×2-919=0.
Требуется:
1. Построить матрицу квадратичной формы.
2. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы.
3. Построить ортогональный базис из собственных векторов.
4. Построить матрицы перехода.
5. Построить уравнение кривой в новой системе координат, привязанной к базису из собственных векторов матрицы квадратичной формы.
6. С помощью сайта www.wolframalpha.com построить:
график кривой второго порядка в новой системе координат, привязанной к собственным векторам матрицы квадратичной формы;
график кривой второго порядка в исходной (старой) системе координат x1Ox2.

Решение:

1. Построить матрицу квадратичной формы.
Матрица квадратичной формы имеет вид:
Q=404425.
2. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы.
Найдем собственные значения и собственные векторы матрицы Q:
Q-λE=40-λ4425-λ=λ2-65λ+984=0⇒
λ1=24, λ2=41-собственные числа матрицы Q.
Найдем соответствующие им собственные векторы:
λ1=24:
Q-λ1EX=0⇒Q+24E=16441~41⇒
p1=1;-4-собственный вектор;
λ2=41:
Q-λ2EX=0⇒Q-41E=-144-16~-14⇒
p2=4;1⇒e2=-25;15.
3. Построить ортогональный базис из собственных векторов.
Построим ортонормированный базис. Так как собственные векторы p1и p2 ортогональны, то p1, p2-ортогональный. Остается пронормировать полученную систему векторов:
p1=1;-4⇒e1=1p1p1=1171;-4=117;-417;
p2=4;1⇒e2=1p2p2=1174;1=417;117.
e1=117;-417,e2=417;117-ортонормированный базис.
4. Построить матрицы перехода.

Читайте также:  и 21) проведите на свое усмотрение оставаясь в рамках здравого смысла и так

Перейдем от стандартного базиса к ортонормированному базису
e1=117;-417,e2=417;117.
Тогда матрица перехода к новому базису имеет вид
S=117417-417117-матрица поворота
tgφ=4⇒φ≈76°.
5. Построить уравнение кривой в новой системе координат, привязанной к базису из собственных векторов матрицы квадратичной формы.
Перейдем к новой системе координат OX1X2.
Тогда старые и новые координаты будут связаны соотношениями:
x1=117X1+417X2,
x2=-417X1+117X2.
Проведем замену в исходном уравнении кривой:
40117X1+417X22+25-417X1+117X22+
+8117X1+417X2-417X1+117X2+28017117X1+417X2+
+27417-417X1+117X2-919=0⇒
4017X12+8X1X2+16X22+251716X12-8X1X2+X22+
+817-4X12-15X1X2+4X22+28017X1+4X2+27417-4X1+X2-919=0⇒
24X12+41X22-48X1+82X2-919=0.
Преобразуем полученное уравнение:
24X12-2X1+1-1+41X22+2X2+1-1-919=0⇔
24X1-12+41X2+12-65-919=0⇔
24X1-12+41X2+12=984⇔X1-1241+X2+1221=1.
Получили уравнение эллипса с центром в точке O'(1;-1) в новой системе координат. Большая полуось a=41; малая полуось b=21.

6. С помощью сайта www.wolframalpha.com построить:
график кривой второго порядка в новой системе координат, привязанной к собственным векторам матрицы квадратичной формы;
график кривой второго порядка в исходной (старой) системе координат x1Ox2.

Построение кривой через сайт:
В системе координат, привязанной к собственным векторам квадратичной формы:

график кривой второго порядка в исходной (старой) системе координат x1Ox2.

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...