Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,25. Какова вероятность того, что некто приобретя 8 облигаций, выиграет по 6 из них?
Решение.
Формула Бернулли
Вероятность того, что в серии из п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события A равна p (0р1), это событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), равна
,
где – число сочетаний из n по k (см. выше), q=1-p – вероятность противоположного события .
Имеем Р8(6)=С860,2560,752=8!2!6!0,2560,752=0,00384
Ответ: 0,00384
Батарея дала 36 выстрелов по объекту, вероятность попадания в который при одном выстреле 0,1. Найти вероятность разрушения объекта, если для его разрушения требуется не менее 5 попаданий.
Решение.
По условию, р=0,1; q=0.9; n=36; k1=5; k2=36. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
P36(5,36)=Ф(х“)-Ф(х`)
X`=k1-npnpq=5-36*0.136*0.1*0.9=0,78
X“=k2-npnpq=36-36*0.136*0.1*0.9=18
Таким образом, имеем:
P36(5,36)=Ф(18)-Ф(0,78)=0,5-0,2823=0,2177
Ответ: 0,2177
Домашняя работа №9
Автоматическая мойка может принять на обслуживание одновременно 6 автомашины. В среднем машины прибывают через 2 мин, а средняя продолжительность мойки – 10 мин. В очереди могут находиться не более 6 машин. Определить вероятность того, что в системе находится хотя бы одна машина, и загруженность одной установки для мойки машин.
Решение.
Имеем систему массового обслуживания (СМО) с шестью каналами, с ожиданием и ограниченной очередью (6 мест).
По условию: λ=0,5 —интенсивность входящего потока, число заявок в единицу времени; (в минуту); n=6— число каналов; m=6 – число мест в очереди; – интенсивность потока обслуживания, одна заявка за 10 минут.
Вводим параметр ѱ=λnμ=0.56*.0.1 = 56 показатель загрузки на один канал. Тогда вероятность того, что на мойке нет ни одной машины:
P0=k=0nnkk!ѱk+nnn!ѱn+1(1-ѱm1-ѱ-1=60!0560+611!561+622!562+633!563+644!564+655!565+666!566+666!567(1-568)1-56-1=0.0051
Тогда вероятность того, что в системе находится хотя бы одна машина
p=1-p0=1-0.0051=0.9949
Загруженность одной установки для мойки машин найдём по формуле .
ρ=λbn=1*1026=56=0.8333<1
Следовательно, система не работает в режиме перегрузок.
2, Среднее число вызовов, поступающих на АТС на 1 минуту, равно 6. Считая поток пуассоновским, найти вероятность того, что за 2 минуты поступит: а) 2 вызова; б) менее 2-х вызовов; в) не менее 2-х вызовов.
Решение.
а) Вероятность события «за 2 минуты поступило 2 вызова» равна:
,
где
– среднее число вызовов в минуту; λ=6;
t – время, за которое может поступить 2 вызова; t=2 мин.;
k – число возможных вызовов за время t; k=2.
a=λ*t=6*2=12
p22=0.00044
б) События «поступило менее 2-х вызовов» и «поступило не менее 2-х вызовов» являются противоположными.
Поэтому найдем сначала вероятность первого события:
ptk<2=p20+p21=0.00000614+0.000074=0.00008014
в) Данное событие является противоположным к событию, описанному в пункте в) (выше), поэтому: ptk≥2=1-(p20+p21)=0,9999
Ответ : а) 0,00044; б) 0,00008014; в) 0,9999
Домашняя работа №10
Система массового обслуживания представляет собой автоматическую телефонную станцию, которая может обеспечить не более 9 переговоров одновременно. Заявка-вызовов, поступившая в момент, корда все каналы заняты, получает отказ и покидает систему. В бреднем на станцию поступает 0,8 вызовов в минуту, а средняя продолжительность одних переговоров равна 1,5 минуты. Для стационарного режима функционирования системы не обходимо определить: а) вероятность состояний системы б) вероятность отказа в) абсолютную и относительную пропускне способности г) среднее число занятих каналов
Решение.
Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО с отказами:Интенсивность потока обслуживания: Интенсивность нагрузки.ρ = λ • tобс = 0.8 • 1.5 = 1.2Интенсивность нагрузки ρ=1.2 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания. а)Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).
p0=11.200!+1.211!+1.222!+1.233!+1.244!+1.255!+1.266!+1.277!+1.288!+1.299!=0.301p0=11.200!+1.211!+1.222!+1.233!+1.244!+1.255!+1.266!+1.277!+1.288!+1.299!=0.301
Следовательно, 30.1% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 18.1 мин.Вероятность того, что обслуживанием:занят 1 канал:p1 = ρ1/1! p0 = 1.21/1! • 0.301 = 0.361заняты 2 канала:p2 = ρ2/2! p0 = 1.22/2! • 0.301 = 0.217заняты 3 канала:p3 = ρ3/3! p0 = 1.23/3! • 0.301 = 0.0867заняты 4 канала:p4 = ρ4/4! p0 = 1.24/4! • 0.301 = 0.026заняты 5 канала:p5 = ρ5/5! p0 = 1.25/5! • 0.301 = 0.00625заняты 6 канала:p6 = ρ6/6! p0 = 1.26/6! • 0.301 = 0.00125заняты 7 канала:p7 = ρ7/7! p0 = 1.27/7! • 0.301 = 0.000214заняты 8 канала:p8 = ρ8/8! p0 = 1.28/8! • 0.301 = 0,000032заняты 9 канала:p9 = ρ9/9! p0 = 1.29/9! • 0.301 =0,00000428б)Вероятность отказа (вероятность того, что канал занят) (доля заявок, получивших отказ).Р отк=0,00000428Заявки не получают отказ. Обслуживаются все поступившие заявки.в) Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен).В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому: pотк + pобс = 1Относительная пропускная способность: Q = pобс.pобс = 1 – pотк = 1 – 0,00000428=0,999Следовательно, 99,99% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок).A = pобс • λ = 0,999 • 0.8 = 0.799 заявок/мин.г) Среднее число каналов, занятых обслуживанием
nз = ρ • pобс = 1.2 • 0,999 = 1.19 канала.
2. Рабочий обслуживает 6 однотипных станков. Каждый станок останавливается в среднем два раза в час, а процедура наладки занимает в среднем 10 минут. В стационарном режиме функционирования системы нужно определить: а) вероятности состояний системы б) вероятность занятости рабочего в) среднее количество неисправных станков г) среднее число налаживаемых станков.
Решение.
А)В данном случае интенсивность входного потока λ=2 , интенсивность обслуживания μ=6, число каналов обслуживания m=1.
Возможны следующие состояния системы:
S0— все станки работают и рабочий свободен
S1— один станок остановился и рабочий занят
S2— два станок остановился и рабочий занят, один станок ждет обслуживания
S3— три станка остановились и рабочий занят, два станка ждут обслуживания
S4— четыре станка остановились и рабочий занят, три станка ждут обслуживания
S5—пять станов остановились и рабочий занят, четыре станка ждут обслуживания
S6— шесть станков остановились и рабочий занят, пять станов ждут обслуживания
На рис. изображен размеченный граф состояний рассматриваемой системы обслуживания — типичного представителя так называемых замкнутых систем обслуживания.
Вероятность того, что рабочий свободен
Р0=1/(1+6*1/3+6*5*1/9+6*5*4*1/27+6*5*4*3*1/81+6*5*4*3*2*1/243+6*5*4*3*2*1/279)=0,052
Вероятность того, что рабочий занят р1=1-0,052=0,948
б) Среднюю занятость рабочего р=0,948
в) среднее количество неисправных станков
ωср=6-1-0,05213≈3,125
г) среднее число налаживаемых станков
Число станков, находящихся под обслуживанием равно 1, если рабочий занят и 0, если рабочий свободен.
А=(1-р0)μ=1-0,052*6≈5,687
То есть в среднем 6 станков в час.
Домашняя работа № 8
В нефтеналивном порту 6 причалов для заправки танкеров, которые приходят в среднем через 18 часов, а время загрузки составляет в среднем двое суток. В очереди могут стоять не более 2 танкеров. Определите пропускную способность и холостой ход порта.
Решение.
Определяем тип СМО – многоканальная СМО с ограниченной очередью.
Дано: , , танкеров / час,
часа танкеров /час
Затем, пользуясь формулами для многоканальной СМО с ограниченной длиной очереди, находим основные показатели системы:
Интенсивность нагрузки.Интенсивность нагрузки ρ=3.125 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания. Время обслуживания. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).
Р0=0,0437
Следовательно, 4.37% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 2.6 мин.Вероятность того, что обслуживанием:занят 1 канал:p1 = ρ1/1! p0 = 3.1251/1! • 0.0437 = 0.137заняты 2 канала:p2 = ρ2/2! p0 = 3.1252/2! • 0.0437 = 0.214заняты 3 канала:p3 = ρ3/3! p0 = 3.1253/3! • 0.0437 = 0.222заняты 4 канала:p4 = ρ4/4! p0 = 3.1254/4! • 0.0437 = 0.174заняты 5 канала:p5 = ρ5/5! p0 = 3.1255/5! • 0.0437 = 0.109заняты 6 канала:p6 = ρ6/6! p0 = 3.1256/6! • 0.0437 = 0.0566 Вероятность отказа (вероятность того, что канал занят) (доля заявок, получивших отказ).Значит, 2% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию. Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен).В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому: pотк + pобс = 1Относительная пропускная способность: Q = pобс.pобс = 1 – pотк = 1 – 0.0153 = 0.985Следовательно, 99% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок). Среднее время простоя СМО (среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).
Поток желающих оформить вызов врача на дом – простейший. В среднем абоненты звонят каждые 10 с. Время приема вызова распределено по показательному закону со средним значением 12с. Определите наименьшее число телефо0нов в регистратуре, при котором вызов принимается не менее чем от 90% абонентов. Считается, что в случае неудачи абонент не предпринимает больше попыток дозвониться.
Решение.
Интенсивность нагрузки.Интенсивность нагрузки ρ=1.2 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
Время обслуживания. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).Следовательно, 34.2% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 20.5 мин.Определим количество каналов, необходимых для обеспечения работоспособности системы с вероятностью P ≥ 0.9Для этого находим n из условия:
n=3
